Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что Ay = dy + а(Дх) Дх, т.е. приращение функции Ау отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем

dy =/'(x)Ax. Поэтому при достаточно малых значениях Ax Ay « dy или f (х + Ах) — / (х) «/'(х)Ах, откуда

Чем меньше значение Ах, тем точнее формула (9.5).

Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вычислениях.

[> Пример 9.3. Вычислить приближенно: а) ^16,64 ; б) tg 46°. Р е ш е н и е. а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой п-й степени. Полагая /(х) = л/х , най-

l_i yfx

дем /'(х) = — хп = —и в соответствии с (9.5) л]х + Ах « л/х +

/7 «х

л/х -Ах I-— п/-( Ах^

+- или vx +Ах « ух 1 н--. В данном примере

«X юу

В качестве х возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен л/х , при этом Ах должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять х = 16, Ах = 0,64 (но, например, не

х = 9, Дх = 7,64!). Итак, */16,64 * */l6 1 + A^i | = 2 1,01 = 2,02.

I, 4-16)

б) Полагая /(х) = tg х, найдем f'(x) = —-— и в соответствии

COS2 X

Ах

с (9.4) tg(x + Ах) « tgx + -. Учитывая, что tg46° = tg(45° + 1°)=

cos2 х

= tg — + —, возьмем х = — и Ах = . Тогда tg46°= tg — + -^-1«

U 180 J 4 180 U 180 J

»tg-+— ---—= I + — = 1 + 0,0349 * 1,035. ?

  • 4 cos2^ 180 90
  • 4

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при а < 1:

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции у =/(х) при некотором значении аргумента х,, истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение х с абсолютной погрешностью I Дх | = I х — Xj |. Если вместо истинного значения f (х]) возьмем величину / (х), то мы допустим ошибку, равную I / (х) — / (х{) = I Ay | » dy = f'(x)Ax.

При этом относительная погрешность функции 8 = —

У

может быть вычислена (при достаточно малых Ах) по формуле:

где |?’v(jy)|— эластичность функции (см. § 7.6) (по абсолютной

величине); Sv =--относительная погрешность нахождения

х

(измерения) аргумента х.

D> Пример 9.4. Расход бензина у (л) автомобиля на 100 км

пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 — 0,3х + 0,003 х2 . Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости х = 90 км/ч, определенной с точностью до 5%.

Решение. Найдем эластичность функции (по абсолютной величине)

ЕЛу) =&= *(-0,3 + 0,006*) ! j _

1 * 1 /(*) 18 - 0, Зх + 0,003+2 у I *-90

и по формуле (9.6) относительная погрешность 8^= 1,41-5» * 7,1%. ?

D> Пример 9.5. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

4

Решение. Объем шара радиуса х равен / (х) = — ттх3 • Най-

Дем f'(x) =lx2, Ех{/) = = Х 4ш = 3 и по форму-

^(Х) 4 71X3

3

ле (9.6) Ьу * 38v= 3-2 = 6%. ?

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычислениях (см. § 14.3).

9.3. Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции у =/(х) согласно (9.3) dy =f'(x)dx, т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть некоторая функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2y функции у =/(х) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

Аналогично дифференциалом я-го порядка (или п-м дифференциалом) dnу называется дифференциал от дифференциала (п~)-го порядка этой функции, т.е. dny= d(dn~ly).

Найдем выражение для d2y. По определению d2y = d(dy) =

= d(f'{x)dx). Так как dx не зависит от х, т.е. по отношению к переменной х является постоянной величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала, т.е.

Итак,

где dx2 = (dx)2, а в общем случае

т.е. дифференциал второго (и вообще п-го) порядка равен произведению производной второго (п-го) порядка на квадрат (п-ю степень) дифференциала независимой переменной.

Из формул (9.8) и (9.9) следует, что

и вообще

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти выражения приращений функций и их дифференциалов и вычислить их значения при заданных х и Дх:

Используя понятие дифференциала, вычислить:

  • 9.14. Используя понятие дифференциала, выяснить, с какой точностью должен быть измерен радиус круга, чтобы его площадь можно было определить с точностью до 10%?
  • 9.15. Используя понятие дифференциала, определить, на сколько процентов изменится величина степени 2,131 при изменении основания степени на 5%.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>