Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у =/(х) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки х е X. Тогда существует конечная производная

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где а(Ах) — бесконечно малая величина при Ах -» 0, откуда

Таким образом, приращение функции Ау состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Ах; 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем Ах, ибо

(см. замечание в § 6.3) lim = [т а(Дх) = 0).

Ах—>0 Ах Дх—>0

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

[> Пример 9.1. Найти приращение и дифференциал функции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.

Решение. Приращение функции

Дифференциал функции dy =/'(х)Ах = (4х — 3)Ах.

При х = 10 и Ах = 0,1 имеем Ау = 3,72 и dy = 3,70. Различие между Ау и dy составляет всего 0,02, или 0,5%. ?

О Пример 9.2. Найти дифференциал функции у = х. Решение, dy = dx = х '-Ах, откуда

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. ?

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

откуда/'(х) =—. Теперь мы видим, что — не просто символи-

dx dx

ческое обозначение производной, а обычная дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции у =/(х) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение Дх. Тогда функция у = /(х) получит приращение Ду = f (х + Ах) — / (х) (см. рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой у = / (х) в точке М, которая образует угол а с положительным направлением оси Ох, т.е.

/'(х) = tg а. Из прямоугольного треугольника MKN

т.е. в соответствии с (9.2) dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у =/(х) в данной точке, когда х получает приращение Ах.

Не следует думать, что всегда dy < Ay. Так, на рис. 9.2 показан случай, когда dy > Ау.

Свойства дифференциала. Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Инвариантность формы дифференциала. Рассматривая выше у =f(x) как функцию независимой переменной х, мы получили, что dy=f'(x)dx. Рассмотрим функцию у =/(и), где аргумент и = ф(х) сам является функцией от х, т.е. рассмотрим сложную функцию у =/[ф(х)]. Если у =Яи) и и = ф(х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в § 7.4, равна у' =/'(«)•«'•

Тогда дифференциал функции

ибо по формуле (9.2) u'dx = du. Итак,

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной м. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть различие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = Дх, а в формуле (9.4) дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функции Дм и только при малых Дх du а Дм.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>