Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Экстремум функции

В определенном смысле материал этого параграфа наиболее важен для решения задачи исследования функций и построения их графиков. Мы выделим наиболее важные, «узловые», точки функции, нахождение которых во многом определяет структуру графика. Это точки экстремума — максимума и минимума функции.

Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f (х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенствоf (x)0) (см. рис. 8.6).

Определение 2. Точка Xj называется точкой минимума функции f (х), если в некоторой окрестности точки хх выполняется неравенство f(x) >f{xj) (см.

Рис. 8.6

рис. 8.6).

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х0. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой, например на рис. 8.6 /min (*2) >/тах(л:о) • Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция fix) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум {минимум)).

Важность точек экстремума иллюстрируется следующим примером (см. рис. 8.7).

Предположим, график функции У =/ (х) имеет вид, изображенный на рисунке сплошной линией. Допустим, мы строим его по точкам, и на рисунок нанесены точки 1,3,

Рис. 8.7

5, 7, 9. Тогда скорее всего мы получим кривую, изображенную пунктиром, которая совершенно не похожа на истинный график функции у =/(*).

Если же на рисунок нанесены точки 2, 4, 6, 8, то качественная картина графика определена практически однозначно (по крайней мере на промежутке, содержащем эти точки).

Необходимое условие экстремума. Если в точке х0 дифференцируемая функция у =/(х) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма (см. § 8.1), и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. /' (х0) = 0. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция у = Ы имеет экстремум (минимум) в точке х = 0, но не дифференцируема в ней (см. пример 7.2 и рис. 7.5). А функция у = л/х^ также имеет в точке х = 0 минимум (рис. 8.8), а 2

производная ее у' = ~—j= в этой точке бесконечна: у' (0) = оо.

3

Рис. 8.8

Рис. 8.9

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того чтобы функция у =/(х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (/'(х0) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными1). Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

[> Пример 8.6. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках:

а) у = х[1] [2] ; б) у = х3 +1; в) у = [ic-Т.

Решение, а) Производная у' = 2х. В точке х = 0 у' (0) = 0 и действительно в точке х = 0 функция у = х[2] имеет экстремум (см. рис. 5.6).

  • б) Функция у = х3 +1 возрастает на всей числовой оси по свойству степенной функции. Производная у' =3х[2] в точке х = 0 равна нулю, т.е. у' (0) = 0, но экстремума в точке х = 0 нет (см. рис. 8.9).
  • в) Функция у = yjx-1 также возрастает на всей числовой оси;

производная у' =, = при х = 1 не существует, т.е. у' (1) = 3^(х-1)2

= оо, но экстремума в этой точке нет (см. рис. 8.10). ?

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции у =/(х) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0есть точка максимума функции у =f{x), а если с минуса на плюс,то точка минимума.

? Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х0) производная положительна (/' (х) > 0), а в некотором интервале (х0, Ь) — отрицательна (/'(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функция / (х) возрастает на интервале (а, х0) и убывает на интервале (х0, b), (см. рис. 8.11).

По определению возрастающей функции /(х0) > fix) при всех х е (а, х0), а по определению убывающей функции f(x) < f(x0) при всех х е (х0, Ь), т.е./(х0) >/(х) при всех х e (а, b), следовательно, х0 — точка максимума функции у =/(х).

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с минуса на плюс. ?

Отметим, что дифференцируемость функции в самой точке х0 не использовалась при доказательстве теоремы. На самом деле она и не требуется — достаточно, чтобы функция была непрерывна в точке х0.

Рис. 8.12

Таким образом, достаточным условием существования экстремума функции у = fix) в точке х0 является изменение знака ее производной, т.е. углов наклона касательных к кривой у =/(х): с острых на тупые (рис. 8.12а) при переходе через точку максимума или с тупых на острые (рис. 8.126) при переходе через точку минимума. Если изменения знака производной не происходит, то экстремума нет.

Схема исследования функции у =f (х) на экстремум.

  • 1°. Найти производную у' =/'(дс).
  • 2°. Найти критические точки функции, в которых производная f'(x) = 0 или не существует.
  • 3°. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
  • 4°. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

t> Пример 8.7. Исследовать на экстремум функцию у —х(х — I)3. Решение. 1°. Производная функции у' = — I)3 +

+ Зх(х~ I)2 = (х ~ I)2 (4х - 1).

2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические

точки функции Xi = i ; х2 = 1. (Точек, в которых производная

не существует, у данной функции нет — f'(x) определена на всей числовой оси.)

Рис. 8.13

3°. Нанесем критические точки на числовую у прямую (рис. 8.13).

Для определения знака у производной слева и справа от критической

точки х = ~ выберем, например, значения х = 0и х = ~ и най-

дем /'(0) = —1 < 0 и слеД°вательно> /'(*) < 0

при всех х< — и f'{x) > 0 на интервале (i; 1).

4 4

Аналогично устанавливаем, что/' (х) > 0 и на интервале (1; +оо).

Согласно достаточному условию х = — — точка минимума

4

данной функции. В точке х = 1 экстремума нет.

4°'Находим Ц{К(Н >

Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f (х) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f"(x0) положительна, то х0 есть точка минимума функции /' (х); если /"(х0) отрицательна, то х0точка максимума.

? Пусть /' (х0) = 0, а /" (х0) > 0. Это значит, что f" (х) = (f'(x))' > 0 также и в некоторой окрестности точки х0, т.е. /' (х) возрастает на некотором интервале (а, Ь), содержащем точку х0.

Но/'(х0) = 0, следовательно, на интервале (а, х0) /'(х) < 0, а на интервале (х0, b) f'{x)> 0, т.е./' (х) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. х0 — точка минимума. Аналогично рассматривается случай /'(х0) = Ои/"(х0) < 0. ? Схема исследования на экстремум функции у =/(х) с помощью второго достаточного условия в целом аналогична схеме, приведенной выше (совпадают полностью пп. 1°, 2°, 4°). Отличие в п 3°, устанавливающем наличие экстремума: здесь необходимо найти вторую производную f" (х) и определить ее знак в каждой критической точке.

[> Пример 8.8. Производитель реализует свою продукцию по

цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью Six) — ах + Ах3 (а < р, Х> 0). Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Решение. Обозначим объем выпускаемой продукции х. Составим функцию прибыли С(х) = рх — (ах + Ах3), где рх — доход от реализуемой продукции.

  • 1°. Находим С (х) = (р — а) - ЗАх2 .
  • 2°. Находим критические точки: С'(х) = (р — а) - ЗАх2 = 0,

откуда х{ = /——— (вторую критическую точку х2 = —— не

V ЗА, V ЗА,

рассматриваем по смыслу задачи).

3°. Находим С" (х) = — бАх и определяем знак второй произ- р-а

водной при х, = --:

1 31

х > 0), следовательно, при х прибыль С(х) максимальна.

4°. Находим максимум функции (т.е. максимальный размер прибыли)

Второе достаточное условие экстремума утверждает, что если в критической точке х0 /”(х0) ф 0, то в этой точке имеется экстремум. Обратное утверждение, однако, неверно. Экстремум в критической точке может быть и при равенстве в ней нулю второй производной.

Рассмотрим, например, функцию у4. Имеем у' = 4х3, у" — 12х2 . В критической точке х = 0 вторая производная также обращается в нуль. Но х = 0 — точка экстремума, а именно — минимума. Так что в отличие от первого второе достаточное условие является именно только достаточным, но не необходимым. Поэтому, если в критической точке х0 /"(х0) = 0, то рекомендуется перейти к первому достаточному условию экстремума.

  • [1] Если говорить точнее, то стационарные — это точки, в которых производ
  • [2] ная равна нулю.
  • [3] ная равна нулю.
  • [4] ная равна нулю.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>