Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Возрастание и убывание функций

Напомним (см. § 5.3), что функция у =/(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых Xj, х2 еХ, х2 > х{ верно неравенство /(х2) >/( х{)(/(х2) < /(хх)).

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

? Рассмотрим два значения х{ и х2 на данном промежутке X. Пусть х2>х,, Xj,х2 е X. Докажем, что f(x2)>f(x1).

Для функции /(х) на отрезке [ хх, х2 ] выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому

где х, < ^ < х2, т.е. Ъ, принадлежит промежутку, на котором производная положительна, откуда следует, что /'(%) > 0 и правая часть равенства (8.3) положительна. Отсюдаf (х2) — f {хх) > 0 и

/(*2) >/(*!)• ?

Аналогично доказывается другая теорема.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции приведена на рис. 8.5.

Если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 8.5а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 8.56), то убывает.

Рис. 8.5

t> Пример 8.4. Найти интервалы монотонности функции у = х2 - 4х + 3.

Решение. Имеем у' = 2х — 4. Очевидно у' > 0 при х > 2 и /<0 при х < 2, т.е. функция убывает на интервале (—оо, 2) и возрастает на интервале (2, +<»), где х0 = 2 — абсцисса вершины

параболы. ?

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает {убывает) на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: f (х) > О {/' {х) < 0), х е X, т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

О Пример 8.5. Найти интервалы монотонности функции у — х3. Решение. Найдем производную у' = Зх2 . Очевидно, что у' > 0 при х ф 0. При х = 0 производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси (см.

рис. 5.5). ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>