Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям производной при исследовании функций и построении их графиков, рассмотрим несколько основных теорем.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у =/(х) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(x0) = 0.

? Пусть функция у =/(х) дифференцируема на промежутке 1ив точке х0 еХ принимает наименьшее значение (рис. 8.1).

Тогда / (х0 + Ах) >/( х0), если х0 + Ax е X и, следовательно, величина Ау = /(х0 + Ах) — / (х0) > 0 при достаточно малых Ах независимо от Ау

знака Ах. Отсюда — > 0 при Ах > О Ах

Ау

и — <0 при Ах < 0. Переходя к Ах

пределу при Ах -» 0+ (справа) и при

Ду

Ах -» 0— (слева), получим lim — > 0

дх—»о+ Ах

и lim — < 0.

Дх->0- Ах

По условию функция у =/(х) дифференцируема в точке х0, следовательно, ее предел при Ах ^ 0 не должен зависеть от способа стремления Ах -» 0 (справа или слева), т.е.

lim — = lim —, откуда следует, что /'(х0) = 0.

Дх—>о+ Ах Дх->0- Ах

Рис. 8.1

Аналогично рассматривается случай, когда функция / (х) принимает в точке х0 наибольшее значение. ?

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ферма может быть использована для доказательства так называемых теорем о среднем, к рассмотрению которых мы переходим.

Теорема Ролля. Пусть функция у =/ (х) удовлетворяет следующим условиям:

  • 1) непрерывна на отрезке [а, Ь]
  • 2) дифференцируема на интервале {а, Ь);
  • 3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = /(Ь).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ?, е {а, b), в которой производная функции равна нулю:

/'«) = о.

Рис. 8.2

? На основании теоремы Вейерштрасса (см. § 6.7) функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию они равны (т.е. т = М), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке [а, Ь]. Тогда производная равна нулю во всех точках этого отрезка. Если же хотя бы одно из этих значений — максимальное или минимальное — достигается внутри отрезка (т.е. т< М), то производная в соответствующей точке равна нулю в силу теоремы Ферма. ?

Отметим геометрический смысл теоремы Ролля (см. рис. 8.2): найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на рис. 8.2 таких точек две: ^ и ?2 )•

Если f(a) =f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существенны и при невыполнении хотя бы одного из них заключение теоремы может оказаться неверным. Так, для функций, приведенных на рис. 8.3, нарушено только одно условие: на рис. 8.3а — непрерывность на отрезке [а, Ь], на рис. 8.36 — дифференцируемость на интервале (а, b), на рис. 8.3в — равенство значений f(a)=f(b).

В результате не существует такой точки ? е (а, Ь), в которой

/та=о.

Рис. 8.3

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция у =fix) удовлетворяет следующим условиям:

  • 1) непрерывна на отрезке [а, Ь];
  • 2) дифференцируема на интервале (а, Ь).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ^ g (а, Ь), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

? Введем новую функцию g (х) следующим образом:

Функция g (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (а, Ь) и принимает на его концах равные значения:

Следовательно, существует точка ?, е {а, Ь), такая, что g'(Z,) = О „ли гй) -/.«) - М . о, откуда/'^) - ? -

о-а о-а

Заключение (8.1) теоремы Лагранжа может быть записано и в виде:

Выясним механический и геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Приращение f(b) —f(a) — это изменение функции на отрезке [а, Ь]; ^—1^1 _ средняя скорость изменения функции на

Ь-а

Рис. 8.4

этом отрезке; значения же производной в точке — это «мгновенная» скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка, такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 8.4.

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка ?, е (а, Ь), в которой касательная к графику / (х) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны (ибо в соответствии с (4.5) угловой коэффициент секущей

kAB = --:-, а касатель-

Ь-а

ной — к = /'($))•

Следствие. Если производная функции / (х) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

? Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок [а, х]. Согласно теореме Лагранжа / (х) — /(а) = /'(?)(* — а), где а < § < х. По условию /'(%) = 0, следовательно, / (х) ~ f (a) = О, т.е. / (х) = f (а) = const. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>