Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике

В § 7.2 было установлено, что производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть Дх — прирост про-

Ду

дукции, тогда Ду — приращение издержек производства и ——

Дх

среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная у' = lim — выражает предельные издерж-

Дх->0 Дх

ки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом[1] в условиях монопольного и конкурентного рынков.

Суммарный доход (выручку) от реализации продукции г можно определить как произведение цены единицы продукции р на количество продукции q, т.е. г = pq.

В условиях монополии одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса p(q) — есть линейная убывающая функция р = aq + b, где а < О, b > 0. Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит г = (aq + b)q = aq2 + bq (рис. 7.9). В этом случае средний доход на единицу продукции г , „

г = — = aq + Ь, а предельный доход, т.е. дополнительный доход Я

от реализации единицы дополнительной продукции, составит r'q = 2aq + b (см. рис. 7.9). Следовательно, в условиях монопольного

рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, р = Ь. При этом суммарный доход составит г = bq и соответственно

Г

средний доход г = — = Ь и предельный доход г' =Ь (рис. 7.10). Я

Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в отличие от монопольного средний и предельный доходы совпадают.

Рис. 7.9

Рис. 7.10

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции Ех{у)называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при Дх —» 0:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у = / (х) при изменении независимой переменной х на 1%.

Выясним геометрический смысл эластичности функции. По определению (7.33)

где tg а — тангенс угла наклона касательной в точке М(х, у) (см. рис. 7.11). Учитывая, что из треугольника MBN MN = х tg а,

МС = у, а из подобия треугольников MBN и ЛМС MIL = МП

МС МА

получим Ех(у) = МН^ Т е эластичность функции (по абсолютной МА

величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями Ох и Оу. Если точки пеерсечения касательной к графику функции А и В находятся по одну сторону от точки М, то эластичность Ех(у) положительна (рис. 7.11), если по разные стороны, то Ех(у) отрицательна (рис. 7.12).

Рис. 7.11

Рис. 7.12

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой пе-

t

у

ременной х на темп изменения функции Т = (In у)' = —, т.е.

У

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

3. Эластичности взаимно обратных функций — взаимно обратные величины:

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса у относительно цены х (или дохода х) — коэффициент, определяемый по формуле (7.33) и показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) |^с(>;)|>1, то СПР°С считают эластичным, если |?,Л.(_у)| < 1 — неэластичным относительно цены (или дохода). Если |?л:(-у)| = 1, то

говорят о спросе с единичной эластичностью.

Выясним, например, как влияет эластичность спроса относительно цены на суммарный доход г = pq при реализации продукции. Выше мы предполагали, что кривая спроса р = p(q) — линейная функция; теперь будем полагать, что р = p(q) — произвольная функция. Найдем предельный доход

Учитывая, что в соответствии с формулой (7.37) для эластичности взаимно обратных функций эластичность спроса относительно цены обратна эластичности цены относительно спроса, т.е.

Е(р) =—"—> а также то, что Ep{q) < 0, получим при про-

Ep{q)

извольной кривой спроса

Если спрос неэластичен, т.е. Ep(q)< 1, то в соответствии с (7.38) предельный доход r'q отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, т.е. I Ep(q) I > 1, то предельный доход r'q положителен. Таким образом, для неэластичного

спроса изменения цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса — в разных. Это означает, что с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса — уменьшается. На рис. 7.9 на кривых доходов выделены области эластичного и неэластичного спроса.

[> Пример 7.11. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией у = 50х — 0,05 х3 (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением у = — =50-0,05х2; при х =

х

10 средние издержки (на единицу продукции) равны jcp(10) = = 50 - 0,05 -102 = 45 (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной у'(х) = 50-0,15х2; при х = 10 предельные издержки составят у (10) = 50-0,15 102 = 35 (ден. ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции 10 ед.), составляют 35 ден. ед. ?

[> Пример 7.12. Зависимость между себестоимостью единицы

продукции у (тыс. руб.) и выпуском продукции х (млрд, руб.) выражается функцией у = — 0,5х + 80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Р е ш е н и е. По формуле (7.33) эластичность себестоимости

При л: = 60 Ех=60{у) = -0,6 , т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению

себестоимости на 0,6%. ?

  • [1] В экономической литературе предельные величины называют такжемаржинальными. При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М при записи средних величин добавляется буква А (от англ.average — средняя). Например, MR — предельный доход, AR — средний доход.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>