Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Производная сложной и обратной функций

Пусть переменная у есть функция от переменной и (у =/(и)), а переменная и в свою очередь есть функция от независимой переменной х, т.е. задана сложная функция у =/[ср(х)] (см. § 5.5).

Теорема. Если у =/ (и) и и = ср (х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

? Дадим независимой переменной х приращение Дх ф 0. Тогда функции и =ф(х)иу=/(и) соответственно получат приращение Дм и Ду.

Предположим, что Дм ф 0. Тогда в силу дифференцируемости функции у =/ (м) можно записать

где /'(и) — величина, не зависящая от Дм.

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций

где а (Дм) — бесконечно малая при Дм 0, откуда

Это равенство будет справедливо и при Дм = 0, если полагать, что а (Дм = 0) = 0 (т.е. доопределить таким образом функцию а (Дм) при Дм = 0).

Разделив обе части равенства (7.17) на Дх ф 0, получим

Так как по условию функция м = ср (х) дифференцируема, то она непрерывна в точке х, следовательно, при Дх -» 0 Дм -> 0 и а(Дм) -» 0.

Поэтому, переходя к пределу при Дх -> 0 в равенстве (7.18), получим

Замечание. Если ограничиться случаями, что при Дх ф 0, АиФ 0, доказательство теоремы можно провести проще

Ду Ду Дм

исходя из очевидного равенства — = —---и переходя в нем

Дх Дм Дх

к пределу при Дх -> 0. ?

Правило дифференцирования сложной функции (7.16) может

_ , , , , dy dy du

быть записано и в других формах: ух = уиих или — =---.

dx du dx

Выше мы привели формулы для производной степенной функции у =хп и ее частных случаев (формулы (7.8) — (7.10)).

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции (7.16) для функции у = ип, где и = и(х), можно записать

Е> Пример 7.7. Найти производные функций:

Р е ш е н и е. а) Функцию можно представить в виде у = и3, где и = у[х + 5. Поэтому на основании формулы (7.19)

  • ?з/— JC2 — 1
  • б) Имеем у = vи , где и = -, поэтому по формулам

X2 +1

(7.16) и (7.19)

в) Вынося постоянный множитель 12 за знак производной и используя (7.21), получим

Перейдем к рассмотрению производной обратной функции. Пусть у = f(x) — дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную у рассматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция х = ср (у) является обратной к данной (см. § 5.5) и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

? По условию функция у =f(x) дифференцируема и У(х) = = /'(*) *0.

Пусть Ау ф 0 — приращение независимой переменной у, Ах — соответствующее приращение обратной функции х = ср(у). Тогда справедливо равенство

Переходя к пределу в равенстве (7.23) при Ау -» 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции Ах ->• 0, получим

Формула (7.22) имеет простой геометрический смысл. Если у'х выражает тангенс угла наклона касательной к кривой

Рис. 7.7

у =/(х) к оси Ох, то х'утангенс угла р наклона той же касательной к оси Оу, причем а + р = ^ (если аир — острые

углы) (рис. 7.7) или а + р =~ (если а

ир — тупые утлы). Для таких углов

tg р = ctg а или tg р = ——. Этому ра-

tga

, 1

венству и равносильно условие х = — .

Ух

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>