Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е.

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции у = с равно нулю.

2. Производная аргумента равна 1, т.е.

Правило следует из формулы (7.8) при п = 1.

В следующих правилах будем полагать, что и = и(х) и v = v(x) — дифференцируемые функции.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

С л е д с т в и е 2. Производная произведения нескольких диф- ференцируемх функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

  • (при условии, что v ф 0).
  • ? В качестве примера докажем правило 4, т.е. формулу (7.12). Пусть и = и(х) и v = v(x) — дифференцируемые функции. Найдем производную функции у = uv, используя схему, приведенную в начале § 7.3.
  • 1°. Дадим аргументу х приращение Ах ф 0. Тогда функции и и v получат наращенные значения и + Ли и v + Av, а функция у — значение у + Ау = (и + Aw)(v + Av).
  • 2°. Найдем приращение функции

Ау

3°. Составим отношение — , которое представим в виде

Ах

4°. Найдем предел этого отношения при Дх -> 0, используя теоремы о пределах

На основании определения производной получили, что

[> Пример 7.6. Найти производную функции у =/(х) и вычислить ее значение в точке х = 1:

Р е ш е н и е. а) По формулам (7.12), (7.11) и (7.8)

Значение производной в точке х = 1 есть у'(1) = 1 (—1 + 1) =

4

= 4,25.

б) Сначала вынесем постоянный множитель за знак производной:

в) По формуле (7.15)

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>