Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Схема вычисления производной.

Основные правила дифференцирования

Производная функции у = / (х) может быть найдена по следующей схеме:

  • 1°. Дадим аргументу х приращение Ах ф 0 и найдем наращенное значение функции у + Ау = / (х + Ах).
  • 2°. Находим приращение функции Ау = /(х + Ах) — /(х).

Ау

3°. Составляем отношение — .

Ах

4°. Находим предел этого отношения при Ах-»0, т.е.

у' = lim — (если этот предел существует).

Лх->о Дх

О Пример 7.3. Найти производную функции у = х3.

Решение. 1°. Дадим аргументу х приращение Ах ф 0 и найдем наращенное значение функции у + Ау = (х + Ах)3.

  • 2°. Находим приращение функции Ау =(х + Ах)3 —х3 = х3 + +3 х2 Ах + ЗхА х2 + Ах3 - х3 = Ах (3 х2 + ЗхАх + Ах2 ).
  • 3°. Составляем отношение — = Зх2 + ЗхАх + Ах2.

Ах

4°. Находим предел у' = lim — = lim (Зх2 + ЗхАх + Ах2) =

Дх—>0 Ах Дх—>0

= 3 х2 . ?

Итак, мы получили, что (х3)' = 3 х2. Можно доказать (см. § 7.5), что для любого (не только натурального) п

Полезно знать частные случаи этой формулы при п = -- и п = — 1:

D> Пример 7.4. Найти производную функции у = х2 • [х2 .

з п

Решение. Представим функцию в виде у = х2х* = х 4 .

11 7

Теперь по формуле (7.8) у' =—ха . ?

4

[> Пример 7.5. Составить уравнение касательной к кривой у =

Рис. 7.6

1

= — в точке х = 1.

л;

Решение. В соответствии с (7.5) уравнение касательной к кривой

у =f(x) =— в точке х = 1 у— /1) =

л;

=/'( 1)(х - 1). По формуле (7.10)

найдем производную f'(x) =--.

х2

Ее значение при х = 1 /'(1) = 1. Значение функции при х= 1 /(1) = 1.

Уравнение касательной у — 1 = — 1(х — 1) или х + у — 2 = 0 (рис. 7.6). ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>