Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Третий ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ПРОИЗВОДНАЯ

Задачи, приводящиеся к понятию производной

Рис. 7.1

1. Задача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая у = / (х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке М00, у0) (рис. 7.1).

Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 7.2а имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис.

7.26, хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке А. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу х0 приращение /Ух и перейдем на кривой

Рис. 7.2

у = / (х) от точки М00;/(х0)) к точке М,(х0 + Ах;/(х0 + Ах)). Проведем секущую М{] М]

(см. рис. 7.1).

Под касательной к кривой у = fix) в точке М0 естественно понимать предельное положение секущей М0М{ при приближении точки Л/, к точке М0, т.е. при /Ух —» 0.

Уравнение прямой,

проходящей через точку М0, в соответствии с (4.4) имеет вид

Угловой коэффициент (или тангенс угла (р наклона) секущей

Ду

может быть найден из AM0M{N: кщщ = tg ср = — (см. рис. 7.1). Тогда угловой коэффициент касательной

Оставим на время задачу о касательной и рассмотрим другую задачу.

2. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s = s(t), где s — пройденный путь, t — время, и необходимо найти скорость точки в момент t0.

К моменту времени t0 пройденный путь равен 50 = s(/0), а к моменту (/0+А/)— путь ?0 + As = s (/0+Д/) (рис. 7.3).

Рис. 7.3

Тогда за промежуток At средняя скорость будет vcp =

А*?

= —. Чем меньше At, тем At

лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0 . Поэтому под скоростью точки в момент t0 естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 + At, когда At -> 0, т.е.

3. Задача о производительности труда. Пусть функция и = u(t) выражает количество произведенной продукции и за время t и необходимо найти производительность труда в момент /0 .

За период времени от t0 до t0 + At количество произведенной продукции изменится от значения u0 = u(t0) до значения и0 + Аи = u(t0 + At); тогда средняя производительность труда за

этот период времени zcp= ^. Очевидно, что производительность труда в момент /0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до t0 + At при At -> 0, т.е.

Рассматривая три различные по характеру задачи, мы пришли к пределу (7.1)—(7.3) одного вида. Этот предел играет чрезвычайно важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>