Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие вполне определенное число ап , то говорят, что задана числовая последовательность/7}:

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: ап = f{n).

Числа аЛ, а2, ..., ап называются членами последовательности, а число а„ — общим или п-м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей1:

  • 2, 4, 6, 8, ..., 2л, ...(монотонная, неограниченная),
  • 1, 0, 1, 0, ... (немонотонная, ограниченная),

(немонотонная, ограниченная).

Рассмотрим числовую последовательность (6.1). Изобразим ее члены точками числовой оси (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Можно заметить, что члены последовательности ап с ростом п как угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности |аи-1| становится все меньше и меньше. Действительно:

1 Определение монотонной и ограниченной функции рассмотрено в гл. 5.

т.е. с ростом п ап -l| будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число Л называется пределом числовой последовательности ап}, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа е > О найдется такой номер N (зависящий от е, N = N(s)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство

Предел числовой последовательности обозначается lim ап = Л

п—»С0

или ап ->Л при /7—>оо. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Используя логические символы: квантор общности V (вместо слова «для любого») и квантор существования 3 (вместо слова «найдется»), символ равносильности <^>, определение предела можно записать в виде

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших п члены последовательности п] как угодно мало отличаются от числа Л (по абсолютной величине меньше, чем на число е, каким бы малым оно ни было). D> Пример 6.1. Доказать, что для последовательности (6.1) lim а„= 1.

/7—»С0

Решение. Пусть, например, s = 0,1. Тогда неравенство

I I ( (-1V0 1

(6.2) I ап 1 |< 0,1 или 1 л---1 < е, т.е. — < s выполняется

п ) п

при п > 10. Аналогично для s = 0,01 I ап 1 | < 0,01 при п > 100.

Для любого е > 0 неравенство (6.2) I ап 1 | < s или — < s вы-

п

полняется при п > —.

8

Итак, при любом s>0 существует такой номер N = — (или рав-

s

ный целой части -), что для всех п > N (при s = 0,1 для п > 10,

s при е = 0,01 для п > 100 и т.д.) выполняется неравенство I ап 11 < е, а это и означает, что lim ап 1. ?

п—»СО

Выясним геометрический смысл предела числовой последовательности.

Расположим члены последовательности а}, а2, ..., ап , ... , на числовой прямой. Неравенство (6.2) I ап —А < s равносильно двойному неравенству A — s < ап< А + е, соответствующему попаданию членов последовательности ап в s-окрестность точки А (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Итак, число А есть предел числовой последовательности {ап}, если для любого е > 0 найдется номер N, начиная с которого (при п > N) все члены последовательности будут заключены в е-окрестности точки А, какой бы узкой она ни была. Вне этой s-окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>