Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется п стран Sl,S2,...,Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно х12,...,хп . Обозначим коэффициентами долю национального дохода, которую страна S.- тратит на покупку товаров у страны 5,-. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

аи а2 ••• ап'

Рассмотрим матрицу А = ^21 ^22 а2п ,

°п1 ап2 "• аГ1П;

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S, (/ = 1, 2,..., п) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S,, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

Если считать, что /?, > х,- (i = 1, 2,..., п), то получаем систему неравенств

Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки ххи + а + ... + ап1) + х2п22+... + ап2) + ...+ +х„(а1„+а2п+... + ат)> х1 + х2+... + х„.

Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

Таким образом, неравенство pt >х,- (/ = 1, 2,..., п) невозможно, и условие Pi^Xj принимает вид Pi=Xi (i = 1, 2,..., п). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор х = {х, х2, хп) национальных доходов стран,

получим матричное уравнение

В котором вектор л: записан в виде вектор-столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению X = 1.

[> Пример 3.13. Структурная матрица торговли трех стран SlfS2,S3 имеет вид:

Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение. Находим собственный вектор х, отвечающий собственному значению X = 1, решив уравнение (А - Е)х = О или систему

методом Гаусса. Найдем х1=(Ъ/2)с, х2=2с, х3=с, т.е.

х = [дс; 2с; с j.

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов

х = ^с; 2с; с j, т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2 : 2 : 1 или 3 : 4 : 2. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>