Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой L(x{, х2,..., хп) от п переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы a{j- — действительные числа, причем а^-а^. Матрица А - (ау) (/,у =1, 2,..., п), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы[1] .

В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

где X = (jcj, х2,...» хпУ — матрица-столбец переменных.

В самом деле :

D> Пример 3.9. Дана квадратичная форма Ь(х123) = = 4xj[2] -12x^2 -Юх^з -Зх|. Записать ее в матричном виде.

Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, —3, а другие элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных X = (х1? х2,..., х„)' и Y = {У, У2, •••, У „У связаны линейным соотношением X = CY, где С = ^) (i,j = 1, 2,..п) есть некоторая невырожденная матрица «-го порядка. Тогда квадратичная форма[3] L = Х'АХ = (СГ)'А(СГ) = (ГС)А(СГ) = YC'AC)Y.

Итак, при невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид:

О Пример ЗЛО. Дана квадратичная форма L(xx, х2) - 2х + + 4xjX2-3x|. Найти квадратичную форму Ь{ух2), полученную из данной линейным преобразованием хх = 2у1 -3у2, Х2=У+Уг- Решение. Матрица данной квадратичной формы

А = [^2 з j ’ а матРийа линейного преобразования С = ^ ^ j.

Следовательно, по (3.31) матрица искомой квадратичной формы

а квадратичная форма имеет вид L(y], у2) = 1Зу[4] - 3{у2 + Зу. ?

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

П П

Квадратичная форма L = ? ? aijxixj называется канониче-

i=1 J=1

ской (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты ау = 0 при / Ф j :

а ее матрица является диагональной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

[> Пример 3.11. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Вначале выделим полный квадрат при переменной хх, коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2, коэффициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Например, квадратичную форму L в примере 3.10 можно было привести к виду

применив невырожденное линейное преобразование

Как видим, число положительных и отрицательных коэффициентов (соответственно два и один) сохранилось.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма L(xx, х2,..., хп) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

Так, например, квадратичная форма Ц = Зх2 + + 9х2 является положительно определенной, а форма L2 = -Xj2 + 2ххх2 — —

отрицательно определенной.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е А, >0, Д2 > 0,..., Ап >0, где

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

О Пример 3.12. Доказать, что квадратичная форма L = 13xj2 - — 6^X2 + 5jc| является положительно определенной.

Решение. Первый способ. Матрица А квадратичной формы имеет вид Д = 3j. Для матрицы А характеристическое

уравнение

А-Щ=ХЪ~^ 5__3 или ^2-18?i + 56 = 0.

Решая уравнение, найдем A.J = 14 , Х2 = 4 . Так как корни характеристического уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма L — положительно определенная.

Второй способ. Так как главные миноры матрицы А

положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма L положительно определенная. ?

  • [1] ' Матрица, у которой все элементы ay = ajj, называется симметрической. П
  • [2] Выше под знаком ^ понимается ^ . /=1
  • [3] Транспонирование произведения матриц проводим по формуле (CY)'=Y'C'
  • [4] (см. свойство на с. 16).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>