Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Размерность и базис векторного пространства

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано в § 1.6 для строк матрицы.

Определение. Вектор ат называется линейной комбинацией векторов а, aj, ..., ат- векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где А,1? Х2,А,т_{ какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы а, а^, ..., ат векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа A.J, Х2,..., Хт, не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы а, а2, ..., ат называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы а, а2, ..., ат линейно независимы, если равенство (3.8) справедливо лишь при Хх = Х2 =... = = 0, и линейно зависимы, если это

равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел Xj(i = 1, 2,..., т) отлично от нуля.

Можно показать (аналогично § 1.6), что если векторы а, а2, ..., ат линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два не- коллинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора ах

и а2 на плоскости. Действительно, условие (3.8) Хха+Х2а2 =0 будет выполняться лишь в случае, когда А,, = А2 =0 , ибо если, - л А]

например, А2 ^ 0 , то а2 =--{ и векторы «, и а2 коллинеар-

Х2

ны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства.

  • 1. Если среди векторов ах, а2, ..., ат имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, «1=0, то равенство (3.8) справедливо при А.1 = 1, А2 =... = Хт = 0 .
  • 2. Если часть векторов ах, а2, ..., ат являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы а2, ..., ат линейно зависимы, то справедливо равенство Х2а2+...+ Хтат = 0, в котором не все

числа равны нулю. Но тогда с теми же числами Х2,...,Хт и Х{ =0 будет справедливо равенство (3.8).

D> Пример 3.2. Выяснить, являются ли векторы ^ = (1,3, 1,3), а2= (2, 1, 1, 2) и а3 = (3,-1,1,1) линейно зависимыми.

Решение. Составим векторное равенство Ххах2а2 + + Х3а2 = 0. Записывая а, а2, «з в виДе вектор-столбцов, получим

Задача свелась таким образом к решению системы:

Решая систему методом Гаусса (см. § 2.3), приведем ее к виду:

откуда найдем бесконечное множество ее решений (A,j = с, Х2 = -2с, Х3=с), где с — произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие (3.8) выполняется не только при Л-j = Л,2 = 2с3 = 0 (а, например, при

Хх =1, Х2 = -2, Х-з = 1 (с = 1); при Х} =2, Х2 = -4, Х3 =2 (с = 2)

и т.д.), следовательно, эти векторы — линейно зависимые. ?

Определение. Линейное пространство R называется п-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (п +1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число п называется размерностью пространства R и обозначается dim (R).

Определение. Совокупность п линейно независимых векторов п- мерного пространства R называется базисом.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор х линейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

? Пусть векторы ех2,...,еп образуют произвольный базис «-мерного пространства R. Так как любые из (« +1) векторов «-мерного пространства R зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы ех2,...,еп и рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа А,], Х2,..., Хп, X , что

При этом ^0, ибо в противном случае, если А, = 0 и хотя бы одно из чисел А,1? А,2,было бы отлично от нуля, то векторы в|, е2,..., еп были бы линейно зависимы. Следовательно,

где *,?=“(!' = 1, 2,..., п).

К

Это выражение х через ех2, ...,еп единственное, так как если допустить какое-либо другое выражение, например,

то, вычитая из него почленно (3.9), получим

откуда из условия линейной независимости векторов еи е2,..., е„ следует, что

или

Равенство (3.9) называется разложением вектора х по базису ех, е2,..., еп , а числа Xj, х2п — координатами вектора х относительно этого базиса. В силу единственности разложения (3.9) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, — противоположные по знаку координаты.

Важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Если е{, е2п — система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через е,, е2,..., еп, то пространство R является п-мерным, а векторы ех, е2,..., еп — его базисом.

? Возьмем произвольные т векторов пространства R, где т>п. По условию каждый из них можно линейно выразить через е12,...,еп:

Рассмотрим матрицу А = (ои) (/ = 1, 2,..., т; j = 1, 2,..., п).

Ранг этой матрицы не превосходит n:r(A) п] -п , следовательно, среди ее строк не более п линейно независимых. Так как т > п, то т строк этой матрицы, а значит, и т векторов «!, а2т линейно зависимы. Таким образом, пространство R «-мерно и в), е2,..., еп его базис. ?

[> Пример 3.3. В базисе е,, е2, е3 заданы векторы ах =( 1; 1; 0), а2=( 1; —1; 1) и а3=(— 3; 5; —6). Показать, что векторы ах, а2, аъ образуют базис.

Решение. Векторы ах, а2, аъ образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: хах + 2а2 + Х3а3 = 0. Решая его аналогично примеру 3.2, можно убедиться в единственном нулевом его решении: ^1 =^2 == 0 , т-е- векторы ах, а2, а3 образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>