Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

n-мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

Определение, п-мерным вектором называется упорядоченная совокупность п действительных чисел, записываемых в виде х= (х,х2,...,хп), где xt — i-я компонента вектора хУ

Понятие «-мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х12,...,хп), а соответствующие цены — вектором

У =(У,У2’---’Уп)-

Два п-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если х,- =yh i = = 1, 2, ..., п.

Суммой двух векторов одинаковой размерности п называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответст-

1 Компоненты «-мерного вектора удобнее обозначать одной буквой, но с разными индексами (в отличие от двух и трехмерных векторов, компоненты которых мы обозначали выше разными буквами), а сам вектор — той же буквой (без номеров и стрелки), выделенной жирным шрифтом.

вующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi=xi+yi, i = 1, 2,п.

Произведением вектора х на действительное число X называется вектор и = Хх, компоненты и, которого равны произведению X на соответствующие компоненты вектора х, т.е.

Uj^XXf, i = ,2,п.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

  • 1. x + y = j> + x — коммутативное (переместительное) свойство суммы:
  • 2. (х + у) + z = л: + + г)— ассоциативное (сочетательное)

свойство суммы;

  • 3. а(рх) = (а(З)д: — ассоциативное относительно числового множителя свойство;
  • 4. (х + j>) = х + — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
  • 5. (а + (3)я = ах + (Зх — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
  • 6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0, ..., 0) такой, что х + 0 = х для любого вектора х (особая роль нулевого вектора);
  • 7. Для любого вектора х существует противоположный вектор (~х) такой, что х + (—х) = 0;
  • 8. 1-х = х для любого вектора х (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам {рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под х, у, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа п. Легко убедиться, что если х и у — многочлены степени не выше п, то они будут обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу п, не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже п. А множество многочленов степени не выше п, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1—8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора х на действительное число 0 и существование для каждого вектора х единственного противоположного вектора (—*), равного произведению этого вектора на действительное число (—1).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>