Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА

Векторы на плоскости и в пространстве

Рис. 3.1

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный

отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе (рис. 3.1)).

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например:

—> —>

Длиной (или модулем) АВ вектора АВ называется число,

равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

—»

Если начало и конец вектора совпадают, например АА, то

—>

такой вектор называют нулевым и обозначают 0 = АА . Длина

—^

нулевого вектора равна нулю: |0| = 0. Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

—>

Произведением вектора а на число X называется вектор

—» —> —> —>

b = Х а , имеющий длину |б| = |А.||я|, направление которого сов-

—»

падает с направлением вектора а , если X > 0 , и противоположно ему, если А,<0 (рис. 3.2).

Противоположным вектором -а называется произведение вектора а на число -> —>

Рис. 3.2

(—1), т.е. -а = (— 1) а .

Суммой двух векторов я и 6 называется вектор с = а+ b ,

начало которого совпадает с началом вектора а , а конец с кон-

Рис. 3.3

цом вектора b при условии, что начало —> —>

вектора b совпадает с концом вектора а (рис. 3.3) (правило треугольника).

->

Очевидно, что вектор с в этом случае представляет диагональ параллелограмма,

—> —?

построенного на векторах а и Ъ (рис. 3.3) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, на-

-» —» ->

Рис. 3.4

пример, сумма четырех векторов а , 6 , с , d (рис. 3.4а) есть вектор

начало которого совпадает с началом вектора

а , а конец — с концом

—»

вектора d (правило многоугольника) (рис. 3.4 б).

Нетрудно убедить-

-> -> ->

ся, что вектор ?/ = я+6+с, определяемый таким образом, представляет диагональ параллелепипеда, построенного на век-

торах а , b и с , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда) (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Разностью двух векторов а и b на-

зывается сумма вектора а и вектора -А ,

—»

противоположного b (рис. 3.6).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном —> —> —> —>

на векторах а = АВ и b = AD, одна диагональ — вектор — представляет сумму векторов —» —>

а и b , а другая диагональ —

Рис. 3.7

—> —>

вектор <7 — их разность (рис. 3.7).

—»

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его

—»

начало совпало с началом координат. Координатами вектора а называются координаты его конечной точки.

Так, координатами

—> —>

вектора а = ОМ на плоскости Оху являются два

числа х и у ( а = (х,>>) — рис. 3.8.), а в пространстве Oxyz — три числа х,у

и z (а = (x,y,z) — рис. 3.9).

Рис. 3.8

Рис. 3.9

В соответствии с определениями, приведенными выше, не-

—>

трудно показать, что суммой и разностью векторов a = (x],yl,z]) —>

и b =[x2,y2,z2) являются соответственно векторы

—>

а произведение вектора а = {xl,yl9zl) на число А, есть вектор

—>

Ъ =(Ъс,Ду1Дг1).

На рис. 3.8 и 3.9 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

—> —>

Определение. Скалярным произведением (а,Ь ) двух векторов —> —>

а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла ф между ними:

Выразим скалярное произведение через координаты векторов -» —»

а и b .

Из треугольника ABD (рис. 3.7), сторонами которого являют-

—> —> —> —> —> ся векторы a =(x1,y1,z1), b = (x2,y2,z2) и d = а- b =

= (xj -х2,У1 -y2zi _z2)’ по теореме косинусов следует, что

->2 -»2 -» -»

|j2| = |flf| + |б| -2|я||б|cosф, откуда

Учитывая формулу длины вектора (3.1) найдем

—>2

d = (jcj - х2 )2 + (- у2 )2 + (^i - z2 )2 и после преобразования выражения (3.2) получим

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

—> —>

Заметим, что при а = b угол ср = 0, cos ф = 1 и

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

В частности, расстояние d между двумя точками плоскости А(х11) и В(х22) можно рассматривать как длину вектора

—»

АВ = (jc2 - хх, у2 - ух). Поэтому

Угол между векторами а и b определяется по формуле

—> —>

[> Пример 3.1. Даны векторы а = (2; -1; -2) и b =(8; -4;0).

—> —> —> —> —> —> Найти: а) векторы с = 2 а и d = Ь - а ; б) длины векторов с —> —>

и d ; в) скалярный квадрат вектора d ; г) скалярное произведе- -> -> —»

ние векторов ( с , б/); д) угол между векторами с и d .

Р е ш е н и е. а) По определению с = 2 а = (4; —2; —4);

d = ~b-~ci = (6; -3; 2).

  • —> —>
  • б) По формуле (3.1) найдем длины векторов end:

  • в) По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату моду-
  • —> —> —>2 —>2

ля вектора, т.е. (d,d) = d =d = 72 =49.

г) По формуле (3.3) скалярное произведение

  • —> ->
  • д) По формуле (3.6) угол между векторами с и d определяется равенством:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>