Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение задач

t> Пример 2.6. Даны матрицы

Решить уравнения: а) АХ = В; б) ХА = С.

Решение, а) Для невырожденной матрицы А решение уравнения находится по той же формуле (2.7) X - А~ХВ, но здесь необходимо учесть, что X не является матрицей-столбцом (как это было в § 2.1), а имеет размер (2x3), ибо

^2x2 ^2x3 = ^2x3 •

Найдем обратную матрицу А~х согласно алгоритму, приведенному в § 1.5:

|т| = 3-1-1-2 = 1; так как А ф 0, то А~] существует. Матрица А', транспонированная к А, имеет вид = ^ j , а матрица А из алгебраических дополнений элементов матрицы А' есть Л = (_| -2).

Теперь Т_1=ц|^( = ^ j и матрица переменных

б) Полагая матрицу А невырожденной, умножим обе части уравнения ХА = С справа на обратную матрицу А~1: (Х4)А~1= СА1.

Так как (ХА)А-1 =Х(АА~Х) = ХЕ = X, то Х = СА~1 и размер

матрицы переменных (4x2), так как С4х2 х А^2 = .<Т4х2. Следовательно,

D> Пример 2.7. Решить уравнение

Решение. Обозначив А = ^ jj, Я = ^ lj’ C = (-2 о]’

представим уравнение в виде АХВ = С. Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу А~х и справа на обратную матрицу В~[, учитывая, что А и В — невырожденные матрицы: А = 1Ф 0, |#| = -10 Ф 0.

Получим А~] (АХВ)В~Х =А~]СВ~]. Учитывая, что А~1 (лхв)в-1 = (А-1А)(ХВ)В-' =Е(ХВ)В~1 =(хв)в-1 =

= х(вв ])= ХЕ = Х, получим Х = А~ХСВ~Х.

Теперь найдем А~] =( ! В~х=—( I

1-1 4J 10{-2 6J

Поэтому

[> Пример 2.8. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: Sit S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид

сырья

Нормы расхода сырья на одну пару, уел. ед.

Расход сырья на 1 день, уел. ед.

Сапоги

Кроссовки

Ботинки

5,

5

3

4

2700

*2

2

1

1

800

*3

3

2

2

1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х{ пар сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим (200; 300; 200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — кроссовок и 200 пар

ботинок. ?

D> Пример 2.9. С двух заводов поставляются автомобили для

двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй — 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу).

Завод

Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед.

1

2

1

15

20

2

8

25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение. Пусть х{- — количество машин, поставляемых

с /-го завода у-му автохозяйству (/,у = 1,2). Получаем систему

Решаем систему, например, методом Гаусса. (Рекомендуем сделать это читателю самостоятельно.) Найдем хп = 50, х12 = = 300, х2 = 150, х22 = 0 (обращаем внимание на то, что ранг матрицы системы г = 4, т.е. г = п, и система имеет единственное решение). ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>