Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система т линейных уравнений с п переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0, 0, ..., 0).

Если в системе (2.12) т = п, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при г(А) < п.

Обозначим решение системы (2.12) хх = кх, х2 2пп в виде строки ех = х, к2,..кп).

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

  • 1. Если строка ех = (кх, к2,..., ?и) — решение системы (2.12), то и строка Хе{ = (Хкх, Хк2,..., Хкп) — также решение этой системы.
  • 2. Если строки ех =(кх, к2,..., кп) и е2 = (/1? /2,..., /„) — реше

ния системы (2.12), то при любых q и с2 их линейная комбинация qq 2е2 =(схкх21х, схк2212, ..., схкп21п) — также

решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому представляет интерес найти такие линейно независимые решения системы (2.12), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Система линейно независимых решений

ех, е2,..., ек называется фундаментальной, если каждое решение системы (2.12) является линейной комбинацией решений el,e2,...,ek.

Теорема. Если ранг г матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2.12) меньше числа переменных п, то всякая фундаментальная система решений системы (2.12) состоит из п-r решений.

Поэтому общее решение системы (2.12) линейных однородных уравнений имеет вид:

где ех, е2,..., ек любая фундаментальная система решений, q, с2, ...,ск произвольные числа и к = п — г.

Можно показать, что общее решение системы т линейных уравнений с п переменными (2.1) равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (2.12) и произвольного частного решения этой системы (2.1).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>