Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Система /ялинейных уравнений с п переменными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (см. § 1.6). Поэтому, если строки расширенной матрицы Ах, т.е. уравнения системы (2.1), линейно независимы, то ранг матрицы Ах равен числу ее уравнений, т.е. г = т, если — линейно зависимы, то г < т.

Вопрос о разрешимости системы (2.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

  • ? Не проводя строгого доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы уравнений (2.1) к виду
  • (2.10), т.е. элементарных преобразований матрицы системы А и расширенной матрицы Ах, ранги этих матриц не изменяются.

Ранее (см. § 2.3) было установлено, что система (2.10) совместна тогда и только тогда, когда все свободные члены

b)r+ ._1) равны нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (2.10),

так же как и данной системы (2.1), совпадают (оба равны г). Ш

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

  • 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. г = п, то система (2.1) имеет единственное решение.
  • 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. г < п, то система (2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Результаты исследования системы (2.1) приведем в виде схемы (рис. 2.1):

Рис. 2.1

Пусть г < п. г переменных хх, х2, хг называются основными

(или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные п-г называются неосновными (или свободными).

Решение системы (2.1), в котором все п-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний[1] С'п , то и базисных решений имеется не более Сгп . Таким образом, совместная

система т линейных уравнений с п переменными (т < п) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее С'п , где г < т.

Приведенная на рис. 2.1 схема не означает, что для решения системы (2.1) в общем случае необходимо вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А1. Достаточно сразу применить метод Гаусса.

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими (в частности, приведенными в § 2.2):

  • • значительно менее трудоемкий;
  • • позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);
  • • дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

D> Пример 2.4. Методом Гаусса решить систему

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы (для удобства вычислений берем в качестве первой строки коэффициенты второго уравнения, у которого коэффициент при х{ равен 1):

т.е. ранг мат-

рицы системы г = 2.

Оставляем в левой части переменные хх, х2, которые берем за основные (определитель из коэффициентов при них (базис-

1 2

ный минор) отличен от нуля, т.е. 5 Ф 0). Остальные неосновные переменные х34 переносим в правые части уравнений. В результате получим систему

откуда

Задавая неосновным переменным произвольные значения х3 = сх, х4 = с2, найдем бесконечное множество решений систе-

( 4 1 17 7 ^ ^

МЫ Г1 = 5_5С2’ *2=-T + Cl-5C2; x3=ci;^4=c2 I- ?

?> Пример 2.5. Найти все базисные решения системы, приведенной в примере 2.4.

Решение. Ранг матрицы системы г = 2 (это следует из примера 2.4), следовательно, одно из уравнений системы, например, третье, можно отбросить.

Общее число групп основных переменных не более

чем[2] Crn =С^ = у-^ = 6, поэтому возможны следующие группы

основных переменных: х1? х2; х1? х3; х1? х4; х2, х3; х2, х4; х3, х4.

Выясним, могут ли переменные х1?х2 быть основными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных, т.е. базисный минор ^ ^=5ф0 , то х{, х2 могут

быть основными переменными. Рассуждая аналогично, найдем, что из всех возможных групп основных переменных только переменные х2, х3 не могут быть основными, ибо ^ 2=®'

Найдем первое базисное решение, взяв в качестве основных переменных х1, х2, а в качестве неосновных — переменные х3, х4. Приравняв неосновные переменные нулю, т.е. х3 = х4 = 0,

Г2х. - Х') = 5

получим систему уравнении в виде: < 1 z _ , откуда

ч 4 *~т т-е-первое б~решение (4/5; -17/5; 0; 0)-

Если взять за основные переменные хх, х3 и приравнять нулю соответствующие неосновные переменные х2, х4, т.е. х24 = 0, то получим второе базисное решение (4/5; 0; 17/5; 0). Аналогично находятся и остальные базисные решения (9/7; 0; 0; —17/7),

(0; -9; 0; 4) и (0; 0; 9; 4). ?

  • [1] Сочетаниями из п элементов по г называются комбинации (соединения) из п элементов по г, отличающиеся только составом элементов. Число C/J вычис- , л(л-1)...(л-г + 1) ляется по формуле: С'„ =-.
  • [2] См. сноску на с. 49.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>