Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Обратная матрица

Для каждого числа а* О существует обратное число а~1 такое, что произведение a-a~l = 1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица А~[ называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если аФ 0 является необходимым и достаточным условием существования числа а~х, то для существования матрицы А~х таким условием является требование А ф 0.

Если определитель матрицы отличен от нуля (|д| =?()), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при |Л| = 0)— вырожденной, или особенной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А~х существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

? Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А~х, т.е А-А~х = А~ХА = Е. По свойству 10 определителей имеем |Л-Л-[1]| = |л(|-|Л-[1]| = |?| = 1, т.е. аф0 и |Л-1|^0.

Достаточность. Пусть А ф 0. Рассмотрим квадратную матрицу л-го порядка А, называемую присоединенной^, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А', транспонированной к А: ау = А!у = А 7

(/ = 1, 2, ..., п / = 1, 2,...,«).Тогда элементы произведения матриц А- А = В определяются по правилу умножения матриц:

Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

Аналогично доказывается, что произведение А на А равно той же матрице В: А- А = А- А- В. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу

то произведения А~1 А и А- А~1 равны единичной матрице Е п-то порядка: А~]А= А-А~] = Дт В = Е.

И

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы Хи Yтакие, что X ф А~1 и Y ф А~1, где матрица А~х получена по формуле (1.14), и выполняются равенства: АХ = Е и YA = E. Тогда, умножая на А~1 слева первое из них, получаем: А~1АХ = А~]Е, откуда ЕХ = А~]Е, т.е. Х = А~1. Аналогично, умножая второе равенство на А~] справа, получаем Y = А~1. Единственность доказана. ?

Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1°. Находим определитель исходной матрицы. Если А = 0, то матрица А — вырожденная и обратной матрицы А~1 не существует. Если А ф 0, то матрица А — невырожденная и обратная матрица существует.

  • 2° . Находим матрицу А’, транспонированную к А.
  • 3°. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A'ij=Aji(i = 1, 2, ..., n;j = 1, 2, ..., п) и составляем из них присоединенную матрицу А: 5* = AL = А« (i = = 1, 2, ..., п; у' = 1, 2, ..., п).
  • 4° . Вычисляем обратную матрицу по формуле (1.14).
  • 5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А~х, исходя из ее определения А~1А = А-А~1 (п. 5° не обязателен).

Е> Пример 1.10. Найти матрицу, обратную к данной:

Решение. 1°. Определитель матрицы А = 5*0 (см. пример 1.6), т.е. матрица А — невырожденная и обратная матрица А~х существует.

2°. Находим матрицу А', транспонированную к А:

3°. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А' и составляем из них присоединенную матрицу А, учиты- " 1 3-2"

вая, что Aj = Ар: А= -3 1 1 (см. пример 1.6).

  • 1 -2 У
  • 4° . Вычисляем обратную матрицу А~х = • А:

5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам:

А~] -А = А- А~] = Е (рекомендуем в этом убедиться самому читателю). ?

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

  • [1] В литературе присоединенную матрицу называют также взаимной, или союзной.
  • [2] В литературе присоединенную матрицу называют также взаимной, или союзной.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>