Полная версия

Главная arrow Техника arrow Автоматическое управление

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод гармонической линеаризации

Частотные методы, получившие широкое распространение при анализе и синтезе линейных систем, имеют ряд преимуществ перед другими методами исследований: во-первых, простота составления и преобразования структурных схем и передаточных функций; во-вторых, удобство и большая наглядность расчетов с помощью частотных характеристик. Поэтому естественным было желание использовать эти методы при исследовании нелинейных систем. Это оказалось возможным на основе метода гармонической линеаризации нелинейных звеньев систем автоматического управления.

Основы метода гармонической линеаризации были изложены в работах выдающихся русских ученых Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова в 1930-х гг. В дальнейшем идея этого метода применительно к системам автоматического управления была развита Е. П. Поповым и Л. С. Гольдфарбом.

Этот метод позволяет исследовать устойчивость нелинейных систем с определением параметров (амплитуда, частота) возможных автоколебаний, производить выбор корректирующих цепей, обеспечивающих заданные характеристики. При этом предполагается гармонический характер колебаний в нелинейной системе, что определяет решение поставленных задач в первом приближении. Однако для систем, линейная часть которых является фильтром низких частот, допускаемая погрешность невелика, и она будет тем меньше, чем выше фильтрующие свойства линейной части исследуемой системы.

Основная идея метода гармонической линеаризации заключается в следующем. Система автоматического управления представляется в виде двух частей — линейной и нелинейной (рис. 10.12). Пусть передаточная функция линейной части равна .... . Мр(р)

W(р) = ^ и уравнение линеинои части имеет следующий

Dp{p)

вид:

Далее, выходной и входной сигнал нелинейной части связаны следующей зависимостью:

где F(x) — заданная нелинейная функция.

Представление АСУ в виде нелинейной и линейной части

Рис. 10.12. Представление АСУ в виде нелинейной и линейной части

В формуле (10.31) для простоты положено, что выходная координата нелинейного звена зависит только от величины входного сигнала и не зависит от его производных или интегралов, хотя рассматриваемый метод применим и к более сложным нелинейным зависимостям, а также к системам с несколькими нелинейными звеньями.

Ставится задача отыскания параметров автоколебаний нелинейной системы. Автоколебания в нелинейной системе предполагается синусоидальными, хотя, строго говоря, эти колебания имеют нелинейный характер. Однако ошибка такого предположения, как уже отмечалось, будет незначительной, так как ликерная часть системы, являющаяся фильтром низких частот, подавляет колебания с высокими частотами. Поэтому будем отыскивать автоколебания системы в виде синусоиды

При входном синусоидальном сигнале на выходе нелинейного звена появятся некоторые периодические колебания. Их можно представить в виде бесконечного ряда гармонических составляющих

где С0, />,, С,, D2, С2, ... — коэффициенты ряда Фурье.

В дальнейшем для упрощения считаем, что постоянная составляющая на выходе нелинейного звена отсутствует. Это означает, что нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и входное воздействие не содержит постоянной составляющей. Учитывая фильтрующие свойства линейной части, можно пренебречь всеми высшими гармоническими составляющими ряда Фурье. Поэтому приближенно выходной сигнал нелинейного элемента можно выразить через первую гармонику ряда (10.33):

Из (10.32) находим:

D С

Если обозначить Q{(A) = —-, Q2(A) = —, то будут справед-

А А

ливы следующие выражения:

где ф = со/.

Уравнение (10.36) в операторной форме принимает вид:

В результате проведенных преобразований нелинейное уравнение (10.31) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (10.38), похожим на линеаризованное уравнение. Отличие заключается в том, что коэффициенты полученного уравнения не является постоянными величинами, а зависят от амплитуды А и частоты со отыскиваемых параметров автоколебаний.

Такая замена уравнений называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты уравнения (10.38) 0,(Л) и Q2(A) носят название гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена.

Произведем гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента (рис. 10.13).

Пример характеристики нелинейного элемента

Рис. 10.13. Пример характеристики нелинейного элемента

Для этого необходимо найти выражения для гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена (?,(/!) и Q2(A) (10.37). На рис. 10.14 графически определен вид функции F^sintp) при синусоидальном входном сигнале нелинейного элемента х(/) = /Isintp, ср = соЛ Получаем:

4с

так как у 2 = л - vp 2, то cosy2 = -cosy, и 0,(Л) =—cosy,.

кА

Графическое пояснение решения уравнения

Рис. 10.14. Графическое пояснение решения уравнения

п • ь [. V

Далее, так как sin у = —, cosy, = J1--- , то

А V А

Таким образом, уравнение (10.38) имеет следующий вид:

Используя гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента, можно определить частоту и амплитуду возможных автоколебаний системы.

После подстановки (10.38) в (10.30) находим уравнение свободных колебаний в замкнутой нелинейной системе:

На основании (10.39) характеристическое уравнение всей замкнутой системы будет иметь вид:

Теперь необходимо найти периодическое решение х = y4sinco/ исходного уравнения (10.39). Периодическое движение в системе возможно только в том случае, если соответствующее характеристическое уравнение (10.40) будет иметь пару мнимых корней. Для отыскания условий, при которых характеристическое уравнение будет иметь мнимые корни, можно воспользоваться любым критерием устойчивости линейных систем.

Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова. Выражение для кривой Михайлова определяется характеристическим уравнением системы (10.40) при подстановке X = jQ.

где Q — текущее значение частоты.

Выражение (10.41) можно переписать в виде

Кривая Михайлова

Рис. 10.15. Кривая Михайлова

Следует заметить, что амплитуда и частота автоколебаний (А, со) входят как параметры уравнения кривой Михайлова. Для того чтобы система вышла на границу колебательной устойчивости, кривая Михайлова должна пройти через начало координат (рис. 10.15).

Известно, что частота, при которой кривая Михайлова пройдет через начало координат определяет частоту незатухающих колебаний в системе. В этом случае Q = а>.

Таким образом, амплитуда и частота периодических колебаний в нелинейной системе л: = A sin со/ могут быть определены при решении системы уравнений:

Если полученные значения для А и со вещественные и положительные, то это означает, что в исследуемой системе возможны автоколебания с найденными значениями параметров. В противном случае автоколебания в системе возникнуть не могут.

После того, как параметры возможных автоколебаний будут определены, необходимо сделать проверку на устойчивость этого периодического решения, т. е. выяснить, сходится ли переходный процесс к периодическим колебаниям или нет (рис. 10.16). Для этого сообщают системе отклонение от периодического ре-

Проверка устойчивости периодического решения

Рис. 10.16. Проверка устойчивости периодического решения: а — решение сходится; б — решение расходится

шения по амплитуде (А + А А). Это приведет к отклонению кривой Михайлова от начала координат в ту или другую сторону (рис. 10.17). Устойчивым периодическим колебаниям соответствует положение I, а неустойчивым — положение II деформированной кривой Михайлова. Для устойчивости автоколебаний необходимо, чтобы при АА > 0 кривая отклонялась в положение I, а при АА <0 — в положение И. Это условие проверяется непосредственным построением кривых.

Кривая Михайлова для отклонений от стационарного режима

Рис. 10.17. Кривая Михайлова для отклонений от стационарного режима

Это геометрическое условие устойчивости периодических решений можно записать в аналитическом виде в форме неравенства А + АА

где индекс звездочка означает, что частные производные, взятые от общих выражений (10.42), вычисляются при подстановке параметров А, О. = со проверяемого периодического решения. Если неравенство (10.44) не выполняется, то это соответствует неустойчивому периодическому решению. Условие (10.44) справедливо при исследовании систем до 4 порядка включительно. Для систем более высокого порядка требуется просматривать ход всей кривой Михайлова.

При отсутствии автоколебательных режимов поведение исследуемой системы может быть самым различным. В настоящее время имеются приближенные способы определения переходного процесса в нелинейных системах при определенных входных воздействиях.

Рассмотрим пример. Для этого воспользуемся системой, рассмотренной в п. 10.3. На основании уравнений (10.21) и (10.23) составляется структурная схема исследуемой системы (рис. 10.18) и определяется передаточная функция линейной части:

Пример исследуемой системы

Рис. 10.18. Пример исследуемой системы

Для характеристики нелинейного элемента (рис. 10.11???) находим выражения для гармонических коэффициентов усиления нелинейного звена:

Характеристическое уравнение замкнутой системы (10.40) с учетом (10.45) и (10.46) имеет следующий вид:

После подстановки X = усо в (10.47) и разделения действительной и мнимой частей получаем уравнения (10.43) для определения амплитуды и частоты колебаний в нелинейной системе:

Решение полученных уравнений относительно А и со дает искомые параметры автоколебаний.

Контрольные вопросы

  • 1. Каковы допущения при использовании метода гармонической линеаризации?
  • 2. Произвести гармоническую линеаризацию характеристики нелинейного элемента (рис. 10.7, г) с параметрами b = 1,5; с = 5.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>