Полная версия

Главная arrow Техника arrow Автоматическое управление

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Понятие о D-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения и пространства параметров систем автоматического управления. Построение областей устойчивости в плоскости одного параметра

Критерии устойчивости позволяют установить факт устойчивости или неустойчивости системы управления при заданных значениях ее параметров.

Очень часто при проектировании систем автоматического управления возникает задача определения областей значений одного или нескольких неизвестных параметров системы, при которых система была бы устойчива, т. е. задача отыскания областей устойчивости.

Такая задача может быть решена с помощью критериев устойчивости, но этот путь связан с многократными громоздкими вычислительными работами. Поэтому применяется другие приемы отыскания областей устойчивости.

Область устойчивости в плоскости двух параметров для системы управления впервые была построена основоположником теории автоматического управления русским ученым И. А. Вышнеградским; работы которого были развиты советскими учеными. В 1938 г. В. С. Ведров предложил метод построения областей устойчивости для систем 4-го порядка. В 1940 г. А. А. Соколов предложил метод построения областей устойчивости путем отображения мнимой оси плоскости корней в плоскости параметров системы. В 1948—1950 гг. метод Вышнеградского и работы Соколова были обобщены С. Ю. Неймарком, который предложил удобные приемы выделения областей устойчивости и обобщил задачу построения областей параметров системы, соответствующих одинаковому распределению корней характеристического уравнения на плоскости корней. Этот метод им был назван методом D-разбиений пространства параметров.

Рассмотрим сущность этого метода. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

Будем считать, что в уравнении (7.1) все коэффициенты, кроме а0 и а„ заданы. Значения коэффициентов а0 и ап мы можем изменять и выбирать.

Пусть при некоторых определенных значениях а0 и а„ уравнение (7.1) имеет к корней с отрицательными вещественными частями (лежащих в левой полуплоскости) и п - к корней с положительными вещественными частями (лежащих в правой полуплоскости корней). Если изменять в некоторых пределах значения коэффициентов а0 и ап, то число корней данного уравнения, лежащих в левой и правой полуплоскости, не изменится. Следовательно, в плоскости коэффициентов а0 и ап можно указать некоторую область значений а0 и ап, при которых уравнение (7.1) содержит к корней, расположенных в левой полуплоскости, и п- к корней, расположенных в правой полуплоскости. Эту область обозначают D(k) (рис. 7.1).

Область D{k) в плоскости коэффициентов aq, а

Рис. 7.1. Область D{k) в плоскости коэффициентов aq, ап

В плоскости коэффициентов д0, а„ можно выделить области значений коэффициентов а0 и ап соответствующих к = 0; 1; 2; ..., п, т. е. выделить области D (к), соответствующие различным значениям к. Следует заметить, что при заданных значениях остальных коэффициентов уравнения (7.1) плоскость а0, ап может не содержать области D (к) для некоторых значений к.

Как известно, система управления будет устойчивая, если все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, т. е. если все корни будут расположены в левой полуплоскости. Тогда областью значений коэффициентов а0 и ап, обеспечивающих устойчивость исследуемой системы (областью устойчивости в плоскости коэффициентов а0, ап), будет область D(n), а граница данной области будет являться границей устойчивости в плоскости а0, ап.

Если для уравнения (7.1) в плоскости коэффициентов а0, ап нельзя указать область D(n), то система неустойчивая при любых значениях а0 и ап.

В случае, когда в уравнении (7.1) были бы неопределенными три коэффициента, например, я0, ап и я„_,,то для построения областей D (к) и выделения областей устойчивости необходимо было бы рассматривать трехмерное пространство коэффициентов а0, ап и а„_{.

При дальнейшем увеличении числа неопределенных коэффициентов уравнения (7.1) необходимо будет рассматривать многомерное пространство коэффициентов для определения областей D (к). Разбиение пространства коэффициентов характеристического уравнения на области, соответствующие одинаковому распределение корней на плоскости корней, называют D-разбиением.

Такое D-разбиение можно построить не только для коэффициентов характеристического уравнения системы, но и для определенных параметров системы, например, постоянной времени, передаточного коэффициента и др.

Рассмотрим вновь уравнение (7.1). Пусть в плоскости коэффициентов а0, ап существует область D (к) (см. рис. 7.1). Если при остальных фиксированных коэффициентах данного уравнения мы будем изменять значения коэффициентов а0 и а„, не выходя за пределы области D (к), то распределение корней уравнения (7.1) в плоскости корней будет оставаться постоянным, т. е. к корней будет находиться в левой полуплоскости и п -к корней — в правой полуплоскости. Если выберем такие значения коэффициентов а0, ап что окажемся вне области D (к) в соседней области, то число корней, расположенных в левой полуплоскости, изменится на единицу или на два, в зависимости от того, изменятся ли знаки у вещественного корня или знак у вещественной части пары комплексных сопряженных корней, когда один или два корня перешли через мнимую ось из левой полуплоскости в правую или наоборот. Если выберем такие значения коэффициентов д0, ап, что окажемся на границе области D(k), то при этом в уравнении (7.1) появится нулевой корень или пара мнимых корней. Следовательно, переход в плоскости коэффициентов а0, ап через границу области D (к) соответствует переходу одного или пары корней из одной полуплоскости в другую через мнимую ось на плоскости корней, которая будет являться отображением границ областей D (к) в плоскости коэффициентов а0, ап. Поэтому для нахождения границ областей D(k) необходимо в уравнении (7.1) положить А = До и выбирать значения коэффициентов а0 и ап так, чтобы полученное уравнение удовлетворялось при всех значениях со от -<х> до +оо. Геометрическое место точек (л0, а„), в которых D (/со) обращается в нуль, есть граница областей D (к).

Следовательно, уравнение D (До) = 0 есть комплексное уравнение границ областей с одинаковым числом корней с отрицательной вещественной частью. В этом уравнении коэффициенты а0, ап являются переменными уравнения, а со, принимающая все значения от -оо до +оо, является параметром уравнения.

Для определения области устойчивости D (п) необходимо построить в плоскости коэффициентов а0, ап все области D (к), а затем выяснить, имеется ли среди построенных областей область D (п), и, если имеется, то где она находится.

Рассмотрим методику построения области устойчивости в плоскости одного параметра А системы автоматического управления. Таким параметром может быть передаточный коэффициент системы, постоянная времени какого-либо элемента системы и т. п. Будем считать, что интересующий нас параметр А входит в характеристическое уравнение линейно, т. е. уравнение можно разрешить относительно А и привести к виду:

где R(X) и S(X) — некоторые многочлены от А..

Из уравнения (7.2) определяем А:

Для решения поставленной задачи очень удобно ввести вместо параметра А комплексную величину, вещественная часть которой равна интересующему нас параметру А. Будем считать

Тогда область устойчивости будем строить в комплексной плоскости х, у.

Для построения границ областей с одинаковым распределением корней на основании полученных ранее выводов делаем в уравнении (7.3) подстановку X = усо и отделяем вещественную часть от мнимой:

Здесь у = U2 (со); х = V2 (со).

Задавая различные значения со от -оо до +оо и откладывая по оси ординат значения мнимой части V7 (со), а по оси абсцисс — значения вещественной части С/2 (со), получим ряд точек, соединив которые плавной кривой, получим годограф вектора А на комплексной плоскости. Данная кривая представляет собой отображение мнимой оси плоскости корней на плоскость параметра А и является границей /^-разбиения плоскости параметра А, разбивая при этом всю плоскость на ряд областей значений параметра А, соответствующих одинаковому распределению корней.

Ввиду того, что вещественная часть ?/2(ю) является четной функцией от со, а мнимая часть V2(co) — нечетной функцией от со, то построенная кривая, являющаяся границей Д-разбиения, симметрична относительно оси абсцисс. Поэтому достаточно для построения всей кривой построить половину ее, изменяя со от О до +оо, а затем дополнить ее зеркальным отображением относительно оси абсцисс.

При перемещении вдоль мнимой оси плоскости корней из -со в +оо корни с отрицательной вещественной частью всегда будут находиться слева. Поэтому при движении по кривой /)-разбие- ния в плоскости параметра А в направлении от со = -оо к со = +оо необходимо заштриховать левую часть кривой по отношению к этому движению. Так как отображение левой полуплоскости корней находится в той части плоскости параметра А, в сторону которой направлены штрихи, то областью устойчивости может быть только та часть плоскости А, в сторону которой направлены штрихи.

Если в плоскости параметра А мы пересекаем кривую D-разбиения, переходя с незаштрихованной стороны на заштрихованную, то это значит, что в плоскости корней один корень пересекает мнимую ось, переходя с правой полуплоскости на левую, и наоборот.

Для определения области устойчивости производим разметку областей в плоскости параметра А, определяя, какому числу корней в левой полуплоскости соответствует данная область.

При этом сразу определяем область значений параметра А, соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью. Так как исследуемый параметр А вещественный, в конечном итоге искомая область значений параметра А будет находиться на вещественной оси. Из-за того, что единственным претендентом на область устойчивости может являться отрезок вещественной оси, находящийся в области, соответствующей наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, то проверяем, является ли данная область областью устойчивости. Для этого выбираем одно из значений параметра А в этой области и проверяем, будет ли система устойчивая или нет с помощью одного из критериев устойчивости. Если система устойчивая, то данная область значений параметра А является областью устойчивости. Если нет, то она не является областью устойчивости и области устойчивости не существует, так как исследуемая область соответствует максимально возможному числу корней с отрицательной вещественной частью.

Для иллюстрации рассмотрим пример. Построить область устойчивости в плоскости передаточного коэффициента системы, характеристическое уравнение которой имеет вид:

где а4 = 125 • 10'7; а3 =30,125 • 10^; а2 = 10,8 • 1(Г2; а, = 1,105.

Для решения задачи разрешаем характеристическое уравнение относительно передаточного коэффициента к:

Для определения выражения кривой /)-разбиения подставляем X = усо в полученное выражение и отделяем вещественную часть от мнимой:

Здесь U2(со) = -я4со4 + а22 - 1; K2(w) = а3о>3 - а,со.

После подстановки численных значений коэффициентов получим:

Для построения кривой /)-разбиения при изменении со от О до +оо можно было бы, задавая различные значения со, определить значения U2 (со) и V2 (со) и по полученным точкам построить кривую.

Для ускорения построения определим координаты точек пересечения кривой с осями координат при изменении со от 0 до +оо.

Определим координаты точек пересечения кривой с вещественной осью. Для этого определим значения со, соответствующие точкам пересечения. С этой целью определим вещественные корни уравнения:

Тогда координаты точек пересечения с вещественной осью будут равны при

Определим координаты точек пересечения кривой ^-разбиения с мнимой осью. Для определения значений со, соответствующих точкам пересечения, определим вещественные корни уравнения:

Обозначим: со2 = у. Тогда:

Тогда координаты точек пересечения кривой с мнимой осью будут равны при:

По полученным координатам строим кривую и дополняем ее зеркальный отображением относительно вещественной оси (рис. 7.2). Штрихуем левую сторону кривой при перемещении по ней в направлении от со = -оо к со = +оо. Производим разметку полученных областей. Для этого предположим, что точка а соответствует области D{k).

Построение 0-области

Рис. 7.2. Построение 0-области

Тогда точка b будет соответствовать области D(k + 1). Чтобы попасть из точки а в точку Ь, необходимо пересечь кривую D-разбиения один раз, переходя с незаштрихованной стороны на заштрихованную, что будет соответствовать переходу одного корня из правой полуплоскости в левую полуплоскость. Аналогично, точка с будет соответствовать области D(k + 2).

Следовательно, отрезок вещественной оси, заключенный внутри данной области, будет определять область значений передаточного коэффициента, при которых характеристическое уравнение исследуемой системы имеет наибольшее число корней с отрицательной вещественной частью. Проверим, является ли данная область областью устойчивости. Выберем некоторое значение к из этой области и проверим при выбранном значении к систему на устойчивость.

Пусть к- 1. Тогда характеристическое уравнение примет вид:

Для системы 4-го порядка условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:

Первое условие для нашей системы выполняется. Проверим второе условие:

Второе условие также выполняется. Следовательно, система при к = 1 устойчивая. Поэтому рассматриваемая область является областью устойчивости.

Контрольные вопросы

1. Построить область устойчивости в плоскости передаточного коэффициента системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

к

имеет вид: W(p) =-.

(0,1р + 1)(0,05р + 1)(0,01р +1)

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>