Полная версия

Главная arrow Экономика arrow Актуарные расчеты в страховании

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Особенности расчетов страховых тарифов по страхованию жизни

Одним из основных факторов, влияющих на вероятность наступления страховых случаев в страховании жизни, является возраст застрахованного, поэтому при расчете страховых тарифов необходимо использовать закон изменения смертности по возрастам. Данные, иллюстрирующие эту зависимость, содержатся в таблицах смертности, составленных на основе демографической статистики.

Большинство страховых продуктов по страхованию жизни рассматриваются не только как инструмент для защиты от рисков, но и как средство формирования накоплений, которые инвестируются и приносят определенный инвестиционный доход, его необходимо учитывать при расчете обязательств сторон, для этого применяются методы финансовых вычислений. Кроме положений теории вероятности в актуарных расчетах по страхованию жизни используются демографическая статистика и финансовая математика.

Все виды страхования жизни, кроме некоторых видов срочного страхования на случай смерти, заключаются на длительный срок и предусматривают получение инвестиционного дохода от уплаченных страховых взносов. Страховые продукты ориентированы не только на покрытие риска смертности, но и на формирование накоплений, их называют накопительными. Самые большие накопления в страховании — это ренты, так как они формируются в течение нескольких десятков лет.

Накопления могут формироваться даже в обычном срочном страховании на случай смерти, вначале носящем чисто рисковый характер. С возрастом риск смерти увеличивается, поэтому ежегодный страховой взнос должен пропорционально повышаться. В классических договорах применяют выровненные годовые премии, они одинаковы в течение всего срока страхования. Уплаченные вначале излишки премий накапливаются и покрывают «недобор» взносов в конце срока страхования. При формировании накоплений необходимо учитывать возможный доход от их инвестирования, что осуществляется за счет дисконтирования. Величина такого дохода называется нормой доходности. Если норма доходности, или норма процента, составляет / процентов в год, то через год каждая денежная единица превратится в (1 + /). К концу второго года эта сумма составит (1 + 0 х (1 + 0 = (1 + О2 и т.д. В общем случае начисление сложных процентов за t лет может иметь следующее выражение:

В страховании жизни страховые взносы и страховые выплаты разносятся во времени на несколько лет. Чтобы их можно было сравнить, они приводятся к одному моменту времени — к моменту заключения договора. Процесс дисконтирования может иметь следующее выражение:

Обратная величина называется коэффициентом дисконтирования, или дисконтирующим множителем (v), или дисконтом, равным

  • —-—. Возводя его в степень п, можно получить дисконтирующий
  • (1 + О

множитель за п лет, т.е.

и определить современную стоимость. Абсолютные значения показателей V и (1 + i)n обычно помещаются выборочно в специальную таблицу (табл. 4.1), которой пользуются при расчете страховых тарифов.

Таблица 4.1

Взаимосвязь числа лет и дисконтирующего множителя

Число лет, п

Дисконтирующий множитель Vn при

i = 0,03

/ = 0,05

/ =0,07

1

0,97087

0,95238

0,93458

10

0,74409

0,61391

0,50364

20

0,55367

0,37689

0,25602

50

0,22811

0,08720

0,03363

Современная стоимость любого страхового платежа, отстоящего от момента заключения договора на t лет, может быть выражена как произведение его будущей стоимости и дисконтирующего коэффициента за t лет. страхования жизни связан с продолжительностью человеческой жизни, рассчитывается на основе таблицы смертности, которая показывает для любого возраста

Риск страхования жизни связан с продолжительностью человеческой жизни, рассчитывается на основе таблицы смертности, которая показывает для любого возраста (х лет) число (1Х) доживающих до этого возраста лиц из первоначальной совокупности, состоящей из /о = 100 000 новорожденных (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Извлечение из таблицы смертности

(Российская Федерация. Мужчины. 2006 г.)*

Возраст, х лет

Численность доживающих до возраста х лет

Численность умирающих при переходе к возрасту (х + 1) лет

Вероятность смерти при переходе от возраста х лет к возрасту (х + 1)

Среднее остаточное время жизни в возрасте х лет

X

/[1]

dx

Ях

ех

0

100 000

1156

0,01156

60,35

1

98 844

116

0,00118

60,05

2

98 728

72

0,00073

59,12

10

98 323

40

0,000041

51,35

20

97 343

236

0,00243

41,8

30

92 762

735

0,00792

33,58

40

85 221

1015

0,01191

26,09

50

73 671

1588

0,02155

19,34

70

34 521

2234

0,06470

9,22

90

2 429

565

0,23246

3,15

состоят в уплате единовременной страховой премии, оплата производится полностью в момент заключения договора, поэтому ее современная ожидаемая стоимость совпадает с номинальной величиной.

Актуарная стоимость обязательств страховщика будет складываться из современной ожидаемой стоимости всех видов ответственности, предусмотренных в договоре страхования. С учетом принципа эквивалентности, а также равенства оценок обязательств сторон величина единовременной нетто-премии соответствует современной ожидаемой стоимости обязательств страховщика по договору.

Нетто-премия представляет произведение страховой суммы и нетто-ставки. Актуарная стоимость обязательств страховщика равна произведению страховой суммы, подлежащей выплате, и современной ожидаемой стоимости соответствующих единичных обязательств, т.е. величине в одну денежную единицу.

Рассчитав актуарную стоимость предусмотренных в договоре единичных обязательств, определяют единовременную нетто-ставку и брутто-тариф. В таблице 4.3 приведены наиболее часто встречающиеся формулы для актуарных расчетов по страхованию жизни.

Таблица 4.3

Формулы для актуарных расчетов по страхованию жизни

Показатель

Формула для расчета

Условные обозначения

1

2

3

Коммутационное число на дожитие

х — возраст

V — дисконтирующий

множитель

1х — число лиц, доживающих до возраста х лет

Дисконтирующий множитель

/ — процентная ставка в долях единицы

Вероятность умереть в течение предстоящего года

dx число умерших при переходе от возраста х к возрасту х + 1 gx вероятность умереть в течение предстоящего года жизни

1

2

3

Сумма первоначального взноса

К — сумма страхового фонда, необходимого для выплаты страхового возмещения к концу t — год

п — фактор времени

Основная часть нетто- ставки со 100 руб. страховой суммы

Т0 — основная часть нетто-ставки со 100 руб. В — среднее страховое обеспечение С — средняя страховая сумма

Гарантированная надбавка (рисковая)

Тр — рисковая надбавка

Р — вероятность наступления риска R — средний разброс страховой обеспеченности

Кл — количество долгов

В — среднее страховое обеспечение количества договоров А — коэффициент, зависящий от гарантии безопасности

Нетто-ставка

Т„ — нетто-ставка

Брутто-ставка

Тб — брутто-ставка Н0 — доля нагрузки в тарифной ставке, %

Расчет страховых тарифов для всех возрастных групп до распространения вычислительной техники был трудоемким. В XVIII в. для его упрощения была разработана методика использования коммутационных функций. С развитием компьютерной техники эта методика уже не играет такой важной роли, но она может оказаться полезной при вычислении тарифов в электронных таблицах. Единовременная страховая (брутто-) премия по договору страхования жизни равна произведению страховой суммы и брутто-ставки:

Брутто-ставка определяется как

где / — заданная доля нагрузки в брутто-ставке.

Для расчета страховых тарифов используются общие для населения региона данные: перепись населения, статистическая информация, собранная непосредственно в страховой организации за ряд лет. При расчете страховых тарифов по страхованию жизни используется технический процент, который представляет собой форму участия страхователя в инвестиционном доходе страховщика и определяется по формуле сложных процентов:

где / — годичный доход капитала (в страховой терминологии —

норма доходности);

К[, К0 — соответственно накопленный и вложенный капитал.

В страховании решается также задача по определению суммы необходимого вложения в настоящий момент, чтобы по истечении определенного времени (п) получить сумму, равную единице капитала. Для этого требуется определить современную стоимость будущего капитала и технический процент (дисконтирующий множитель).

Страхование жизни осуществляется либо в форме страхования сумм (капитала), либо страхования ренты (аннуитетов); это различие объясняется формой страховых выплат. При страховании капитала выплата производится застрахованному при наступлении страхового случая единовременно в размере страховой суммы; при страховании ренты производятся периодические выплаты.

Расчет нетто-ставки по страхованию жизни (капитала) осуществляется при помощи таблицы смертности и таблицы коммутационных чисел. Определение нетто-ставки (Тн) осуществляется по формуле

где пЕх единовременная ставка на дожитие для застрахованного возраста х лет со сроком страхования п лет;

пАх — единовременная ставка на случай смерти для застрахованного возраста х лет со сроком страхования п лет.

Определение нетто-ставки возможно двумя способами: при помощи таблицы смертности или таблицы коммутационных чисел. По первому способу определяются нетто-ставки при помощи таблицы смертности, а для этого рассчитывается единовременная ставка на

дожитие пЕх по формуле (4.14), единовременная ставка на случай смерти (пАх) рассчитывается по формуле (4.15).

В практике накопительного страхования жизни уплата страхового взноса единовременно применяется редко, чаще всего условия страхования предусматривают внесение страхователем периодических страховых взносов (ежегодных). Чтобы получить сумму годовых взносов, нельзя просто поделить единовременный взнос на соответствующее количество лет страхования, так как необходимо учитывать потерю доходов от инвестирования временно свободных средств, а также уменьшение числа застрахованных вследствие смертности, поэтому применяют так называемые коэффициенты рассрочки пах.

Для получения годичной тарифной ставки следует ее единовременное значение разделить на коэффициент рассрочки пах. В страховании жизни применяют уплату премии в рассрочку либо в течение нескольких первых лет, либо всего срока страхования. При уплате в рассрочку средства поступают к страховщику по частям, в результате теряется доход, который мог быть получен от их инвестирования, в течение периода уплаты взносов часть застрахованных может умереть. Это приводит к долгосрочному прекращению договоров, в результате страховая организация недополучает часть запланированных страховых взносов. Данные обстоятельства необходимо учитывать при определении величины периодических страховых премий. По традиционным договорам страхования размер, количество и момент уплаты взносов фиксируются. Сумма отдельного страхового платежа рассчитывается путем деления единовременной премии на коэффициент рассрочки. Применяются два вида коэффициента рассрочки в зависимости от времени уплаты годовой суммы страхового взноса:

  • постнумерандо — при уплате взносов в конце года;
  • пренумерандо — при уплате взносов в начале года.

Значения коэффициентов рассрочки всегда несколько меньше

числа лет (срока) страхования, поэтому полученные с помощью коэффициентов рассрочки годичные нетто-ставки взносов по величине больше, чем их значения, получаемые простым делением единовременных нетто-ставок на количество лет страхования. За счет такого различия в величине годичных и единовременных нетто-ставок компенсируются потери страховщика в связи с рассрочкой уплаты страховой премии в сравнении с единовременным страховым платежом.

При втором способе нетто-ставка рассчитывается при помощи таблицы коммутационных чисел, определяются значения коммутационных чисел. Коммутационные числа представляют собой математическую комбинацию данных таблицы смертности и служат для упрощения, не имея при этом конкретного экономического смысла. Коммутационные функции — специальные технические показатели, не имеющие определенного «физического» смысла и применяемые в связи со стремлением сократить объем ручных вычислений. Коммутационные функции рассчитываются на основе таблицы смертности и нормы доходности для всех возрастов. В таблице 4.4 выборочно приведены значения коммутационных функций для некоторых возрастов, рассчитанные по российской таблице смертности 2006 г. для мужчин при норме доходности 5% годовых.

Таблица 4.4

Фрагмент таблицы значений основных коммутационных функций. Таблица смертности (Российская Федерация. Мужчины, 2006 г. при норме доходности 5%)

X

V*

1х

dx

Dx

А

Nx

Мх

20

0,37689

97 343

236

36 687,55

84,71

630 605,40

6658,60

30

0,23138

92 762

735

21 463,03

161,96

337 697,07

5382,43

31

0,22036

92 028

690

20 279,24

144,81

316 234,04

5220,47

32

0,20987

91 338

707

19 168,76

141,31

295 954,80

5075,66

33

0,19987

90 631

701

18 114,65

133,44

276 786,04

4934,35

34

0,19035

89 930

723

17 118,61

131,07

258 671,39

4800,91

35

0,18129

89 207

760

16 172,36

131,22

241 552,79

4669,84

40

0,14205

85 221

1015

12 105,28

137,31

169 237,81

4046,47

50

0,08720

73 671

1588

6424,39

131,89

76 093,31

2801,03

где w — последнее значение таблицы коммутационных чисел.

В обозначениях коммутационных чисел формулы для определения нетто-ставок на дожитие и на случай смерти выглядят следующим образом:

При расчете тарифных ставок с использованием коммутационных чисел можно использовать специальные формулы для расчета годичных взносов:

где иАг — годичный взнос на случай смерти страхователя возраста х лет на п лет.

где пЕг — годичный взнос на дожитие страхователя возраста х лет на п лет.

Итак, нетто-ставки по страхованию на дожитие и по страхованию на случай смерти входят как составные части в тарифы по смешанному страхованию жизни — наиболее распространенному виду долгосрочного страхования. В совокупной нетто-ставке на дожитие и на случай смерти преобладающий вес имеет нетто-ставка на дожитие.

  • [1] Источник: http://www.mortality.org Таблица смертности содержит расчетные показатели, характеризующие смертность населения в отдельных возрастах и доживае-мость при переходе в другую возрастную группу. Таблица показывает, сколько лет в среднем предстоит прожить одному человеку изчисла родившихся или из числа достигших определенного возраста. Нетто-ставка определяется исходя из принципа эквивалентностиобязательств страхователя и страховщика. Обязательства страхователя
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>