ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗНАЧИМОСТИ ВЫБОРОЧНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Пусть из нормально распределенной системы ?=(?, Л) образована выборочная совокупность объема п (см. п. 5.2) и по данным этой выборки вычислен выборочный коэффициент корреляции г_в, который оказался отличным от нуля. Как было отмечено в предыдущем параграфе, выборочный коэффициент корреляции г_в является оценкой коэффициента корреляции г_г = г(^, г|) всей генеральной совокупности. Поскольку выборка образована случайным образом, то условие г_в ф 0 еще не гарантирует коррелированности всей системы ? = (?, л), т.е. выполнения условия г_т Ф 0. Поэтому нам наряду с установлением условия г_в ф 0 нужно еще решить вопрос о том, значимо или незначимо отличается от нуля найденный выборочный коэффициент корреляции г_в.

Таким образом, возникает необходимость при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀ : г_г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н_х: г_г Ф 0.

При этом, если нулевая гипотеза отвергается, это будет означать, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и величины ^ и ц коррелированны, т.е. между ними существует линейная зависимость.

Если же принята нулевая гипотеза г_г = 0, то это означает, что величины ^ и г| независимы (см. п. 4.4, [9]), в частности между ними отсутствует и всякая линейная зависимость. Следовательно, г_в отличается от нуля незначительно и условие г_в Ф 0 вызвано случайными причинами.

В качестве критерия проверки используют случайную величину

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет ^-распределение Стьюдента с к = п - 2 степенями свободы.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид г_г Ф 0, то критическая область — двусторонняя. Пусть по данным выборки вычислено значение критерия У_набл и по таблице ^-распределения найдена t_Kp = = t_Kp дв(а, к = п - 2). Тогда если | Т_набл| > / , то нулевую гипотезу отвергают. Если же | Г_набл| < /_кр, то нулевую гипотезу принимают.

Пример 5.3. Для случайных величин ? и г), рассмотренных в предыдущем параграфе, по данным выборки (см. табл. 5.1) при уровне значимости а = 0,05 проверить справедливость нулевой гипотезы Н₀ : г_т= 0 при конкурирующей гипотезе Я, : г_г Ф 0.

? Поскольку г_в = 0,8 и объем выборки п = 100, то согласно формуле (5.27)

По уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = = 100 - 2 = 98 находим критическую точку ^-распределения: /_кр = = /_кр(0,05; к = 98) = 1,98. Так как по условию задачи Г_набл = = 13,2 > 1,98 = / , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергают. Это означает, что г_в значимо отличается от нуля. Следовательно, величины ?, (количество внесенного удобрения) и Г| (урожайность с.-х. культуры) — коррелированны и связаны линейной зависимостью. ?

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности важную роль играет понятие

погрешности выборочного коэффициента корреляции с_г. Она определяется по формуле

Тогда искомым доверительным интервалом будет служить промежуток

где t, как и прежде, — коэффициент значимости, и его величина зависит от вероятности у, с которой гарантируются пределы r_f Пример 5.4. В качестве приложения формулы (5.29) найти доверительный интервал, который с надежностью у = 0,9973 покрывает генеральный коэффициент корреляции системы случайных величин ?=(!;, Г|)> рассмотренных в примере 5.3.

? Согласно формуле (5.28) погрешность выборочного коэффициента корреляции <5_r = (l — 0,8²) VlOO ~ 0,04 . По таблице значений функции Лапласа находим коэффициент значимости t = Ф"¹ (0,9973) = 3.

Следовательно, искомый интервал имеет вид