Полная версия

Главная arrow География arrow Инженерная геодезия в вопросах и ответах

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Как определить среднюю квадратическую погрешность результатов измерений, если эталонное значение измеряемой величины отсутствует?

Предположим, что в результате измерения длины линии на местности, получены результаты, которые сведены в таблицу.

Т а б л и ц а 1.20

Результаты измерения длины линии, и её обработки_

Измеренное значение длины линии, м

Отклонение от арифметической середины 8, см

Отклонение от арифметической середины в квадрате S2, см

56,25

+1

1

56,23

-1

1

56,24

0

0

56,26

+2

4

56,23

-1

1

56,23

-1

1

* = 56,24

Решение:

- по результатам измерения длины линии находим значение арифметической середины

- определяем отклонение от арифметической середины 8

  • - определяем квадрат отклонение от арифметической середины 82
  • - по формуле Бесселя вычисляем среднюю квадратическую погрешность

- определяем значение средней квадратической погрешности арифметической середины

- определяем предельную погрешность

- вычисляем относительную погрешность

Что означают термины предельная, абсолютная и относительная погрешности?

Применительно к конкретным результатам измерений следует указывать критерии по их отбраковке. В качестве такого критерия принимают предельную погрешность Апр. При выполнении ответственных измерений предельная погрешность Апр = 2т, для менее ответственных измерений такая погрешность будет составлять Апр =Ът. Погрешность, определяемая по формуле

А = Ц — X, является абсолютной погрешностью. В практике геодезических измерений точность измерений принято характеризовать не только по абсолютному значению (истинному, средней квадратической). Но и её относительной величиной. В качестве относительной погрешности принимают отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины Аотн = /{ljm).

Пример. Дано т = 0,11 м., / = 212,43 м. Определить предельную и относительную погрешности при выполнении ответственных измерений.

Решение

Определяем Апр = 2т Апр = = 2 • 0,11 = 0,22 м.

Как определить среднюю квадратическую погрешность результатов измерений при наличии эталонного значения измеряемой

величины?

Предположим, что на местности было выполнено измерение длины линии базиса с высокой точностью, равное X = 283,567 м. Полученные результаты измерения линии, выполненного десятью приёмами, сведены в таблицу.

Таблица 1.21

Результаты измерения длины линии и результаты её __обработки__

Измеренное значение длины линии, м

Абсолютная

погрешность

А,

мм

Систематическая погрешность Я, мм

Случайная

погрешность

?, мм

283,562

-5

-2,6

-2,4

283,568

+ 1

-2,6

+3,6

283,570

+3

-2,6

+5,6

283,560

-7

-2,6

-4,4

283,555

-12

-2,6

-9,4

283,565

-2

-2,6

+0,6

283,568

+ 1

-2,6

+3,6

283,572

+5

-2,6

+7,6

283,561

-6

-2,6

-3,4

283,563

-4

-2,6

-1,4

1ср= 283,564

Решение:

- определяем абсолютную погрешность, разницу между измеренным и истинным значением длины линии по формуле:

и проверяем принадлежность ряда к случайным погрешностям. В данном случае количество погрешностей с положительным знаком равно 4, а количество отрицательных - 6. Следовательно, первое свойство выполняется вполне удовлетворительно, так как количество измерений невелико п=10.

Второе условие не выполняется, так как сумма погрешностей не равна нулю. Следовательно, ряд содержит систематическую погрешность, которую необходимо исключить. Для этого вычислим её значение

и исключаем из всех членов ряда А, тем самым получаем ряд случайных погрешностей

- вычисляем среднюю квадратическую погрешность по формуле Гаусса, тогда в нашем случае

- вычисляем значение погрешности самой погрешности

- определяем предельную погрешность

- определяем относительную погрешность

Пример: Длина линии измерена мерной лентой 15 раз. Эта же линия измерена светодальномером, длина линии составила X —181,216 м. Определить систематическую погрешность и оценить её значимость, среднюю квадратическую погрешность одного измерения т, оценить точность вычисления средней квадратической погрешности тт, определить предельную и относительную среднюю квадратическую погрешности измерений.

Таблица 1.22

Результаты измерения длины линии и результаты её _ обработки __

Измеренное значение длины /; линии, м

Абсолютная погрешность А, см

Системат.,

погрешность

Я, см

Я =/п

Случайная погрешность ? , см

е,=^-Х

?2

181,22

+0,4

+2,93

-2,53

6,4

181,23

+1,4

+2,93

-1,53

2,4

181,28

+6,4

+2,93

+3,43

12,0

181,24

+4,4

+2,93

+1,43

2,2

181,27

+5,4

+2,93

+2,47

6,1

181,28

+6,4

+2,93

+3,43

12,0

181,21

-0,6

+2,93

-3,53

12,5

181,25

+3,4

+2,93

+0,47

0,2

181,28

+6,4

+2,93

+3,47

12,0

181,25

+3,4

+2,93

+0,47

0,2

181,20

-1,6

+2,93

-4,53

20,6

181,27

+5,4

+2,93

+2,47

6,1

181,23

+1,4

+2,93

-1,53

2,4

181,21

-0,6

+2,93

-3,53

12,5

181,24

+2,4

+2,93

-0,53

0,3

=181,25

+2,93

107,7

Решение:

  • - определяем среднее значение измеренной длины линии 1ср= 181,25;
  • - определяем абсолютную погрешность А = Ц — X ;
  • - оцениваем систематическую погрешность Я = А / п ;
  • - определяем случайные погрешности ?t = Д;Я ;

определяем сумму квадрата абсолютной погрешности ^А2/=236,8 см2;

- определяем среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения

или с учётом совместного влияния ошибок случайного и систематического характера

- надёжность полученной средней квадратической погрешности

  • - предельную среднюю квадратическую погрешность рассчитывают, приняв Апр = Ът или Апред = 3 • 2,68 = 8,04 « 8,0 см.
  • - относительная средняя квадратическая погрешность будет равна

Можно ли обеспечить заданную точность измерения прибором с более низкой точностью?

Да, можно. Например, сколько измерений необходимо выполнить с помощью теодолита 4Т-30П, чтобы получить точность измерения угла равного 10" ? Данные расчёты справедливы при отсутствии систематических погрешностей.

Как можно вычислить арифметическую середину при неравноточных измерениях?

Ранее уже упоминалось, что к неравноточным измерениям относят те, в которых изменён хотя бы один параметр. Например, результаты измерений одной и той же величины получены приборами различной точности, различным числом приёмов, в различных условиях и т.п., т.е. неравноточные измерения имеют разные средние квадратические погрешности. Для совместной обработки таких измерений вводят понятие веса. Весом называют величину, обратно пропорциональную квадрату средней квадратической погрешности

где с - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной группы измерений. Вес характеризует степень надёжности или степень доверия к результату измерения и чем он больше, тем выше доверие по отношению к другим результатам того же ряда.

Допустим, имеются результаты неравноточных измерений одной и той же величины /1?/2,/3...,/n и их средние квадратические погрешности т,, т2, тъ..., тп. Необходимо вычислить среднее арифметическое из этого ряда измерений. При решении задач такого типа сначала вычисляют веса

Тогда формула общей средней арифметической середины с учётом веса измерений будет

Средняя квадратическая погрешность , соответствующая результату измерения, вес которого принят равным единице, или так называемая средняя квадратическая погрешность единицы веса определяют по формуле

где Ц

При обработке ряда равноточных измерений, точность арифметической середины выше, чем точность любого отдельно взятого результата, входящего в вычисления. Средняя квадратическая погрешность М весового среднего или общей арифметической середины определяется как М0 = /л j л]~р .

Пример: Один и тот же угол измерен теодолитом 4Т-30П с результатом Д = 35°15'30" и точным теодолитом Т5 с результатом Д2 = 35°15'10". Вычислить значение угла.

Решение:

Так как приборы имеют различную точность, то необходимо сначала установить веса результатов.

Примем с - коэффициент пропорциональности постоянной с=100. В отдельных случаях в качестве константы целесообразно принимать не обезличенное число, а квадрат средней квадратической погрешности одного из результатов измерений.

Средняя квадратическая погрешность при измерении горизонтальных углов данными приборами составляет 30* и 5" соответственно. Тогда их веса соответственно будут равны

Тогда значение средней арифметической середины с учётом веса измерений будет равно

Как видно из решения примера, измерение угла теодолитом 4Т-30П никак не оказало влияние на среднее значение угла 35015'2(Г, т.е. по сути, оно было бесполезным. Но, в то же время, если при этом не учитывать веса измеренных углов, то разница оказывается существенной.

Веса измерений удобно выражать не через средние квадратические погрешности, которые обычно не известны, а через другие числовые характеристики, например, число измерений, число приёмов и т.д.

Пример: Определить весовое среднее значение, среднюю квадратическую погрешность единицы веса и среднюю квадратическую погрешность весового среднего значения по данным угловых измерений, выполненных п раз и приведённым в таблице 1.23.

Т а б л и ц а 1.23

Исходные данные и результаты вычислений к примеру

Значение измеренного угла

Число

измерен.,

п

78°08'10"

3

1

+6

36

36

78°08'06"

9

3

+2

4

12

78°08'08"

6

2

+4

16

32

78°08'00"

15

5

-4

16

80

78°08'04"

12

4

0

0

0

Решение:

- Определяем среднее арифметическое значение угла с учётом веса измерений

для удобства вычислений общая часть 73°08'00" вынесена за знак операций, а веса р получили делением на 3.

- Средняя квадратическая погрешность единицы измерения будет равна

- Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины будет равна

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>