Полная версия

Главная arrow Прочие arrow Моделирование систем и процессов, 2015, вып. №2 -

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Модель эндогенного экономического роста в условиях неопределенных равновесий

В.А. Полев1, В.С. Стародубцев1, В.В. Свистов1

Российский государственный социальный университет, филиал в г. Воронеже,

Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script

Аннотация — В настоящей работе предлагается модель эндогенного роста, основанная на предположении, что коэффициент дисконтирования формируется эндогенно. Анализ модели ограничивается изучением состояний стационарного равновесия, которым соответствуют траектории сбалансированного роста, и показывается, что множество стационарных равновесий представляет собой континуум, а каждое отдельное равновесие является неопределенным.

Ключевые слова — Модель, эндогенный рост, коэффициент дисконтирования, стационарное равновесие, условия неонределённости.

I. Введение

Проблемы определенности и неопределённости играют важнейшую роль в экономической теории. Если в какой-то модели множество состояний равновесия, конечно, то каждое из равновесий будет определенным [1]. В этом случае, несмотря на возможную неединственность равновесия, есть надежда, что понятие равновесия обладает определенной дескриптивной значимостью и предсказательной силой.

В математической экономике состояние равновесия принято называть определённым, если оно является локально единственным, т.е. найдется некоторая его окрестность в соответствующем пространстве, внутри которой не существует других равновесий кроме данного; в противном случае состояние равновесия называется неопределенным. Данные понятия никак не апеллируют к возможной стохастической природе экономических явлений и касаются сугубо детерминированных моделей [2].

Если же множество состояний равновесия бесконечно, например является континуумом, причем некоторые из равновесий будут неопределёнными, то ситуация становится менее оптимистичной. В этой ситуации само понятие равновесия в значительной мере теряет свою предсказательную силу. Когда равновесий очень много, а одно от другого может находиться сколь угодно близко, то вопрос о том, куда же приведут экономику рыночные силы, не может получить удовлетворительного ответа без привлечения соображений, выходящих за рамки рассуждений спросе и предложении [3].

Следует указать еще на один важный аспект проблем определенности и неопределенности равновесия. Важнейшим инструментом экономической теории является метод сравнительной статики. Сущность этого метода состоит в сравнении состояний равновесия при различных значениях экзогенных параметров модели, влияние которых на экономику необходимо исследовать. В случае, когда состояние равновесия единственно при всех допустимых значениях экзогенных параметров, анализ сравнительной статики, безусловно, оправдан. Он в какой-то мере правомочен и при конечном числе равновесий, но только в том случае, если оно не меняется хотя бы при малом изменении параметров, а зависимость каждого равновесия от параметров непрерывна. Если же состояния равновесия являются неопределёнными, то анализ сравнительной статики может оказаться невозможным. Действительно, когда состояний слишком много и они могут находиться сколь угодно близко друг от друга, неопределенность выразится в том, что будет непонятно, в какое состояние равновесия перейдет экономика из данного равновесия при изменении экзогенных параметров модели [4], [5].

И. Формирование модели

В настоящей работе предлагается модель эндогенного роста, основанная на предположении, что коэффициент дисконтирования формируется эндогенно [6], [7].

Анализ модели ограничивается изучением состояний стационарного равновесия, которым соответствуют траектории сбалансированного роста, и показывается, что множество стационарных равновесий представляет собой континуум, а каждое отдельное равновесие является неопределенным. При этом ключевую роль играет межвременной рациональный выбор потребителей, а именно, предположение о том, что с ростом благосостояния потребителя его субъективный коэффициент дисконтирования растет. Неопределенность выражается в том, что множество равновесных темпов роста является интервалом. Такая ситуация возникает в связи с тем, что хотя по своим экзогенным параметрам все потребители предполагаются одинаковыми, в состоянии равновесия население делится на две группы - «бедных» и «богатых».

«Бедные» характеризуются нулевым уровнем сбережений, и их коэффициент дисконтирования сравнительно мал. В результате, они не делают никаких новых сбережений, а всю свою заработную плату тратят на потребление. Что касается «богатых», то они располагают некоторыми положительными сбережениями, и их коэффициент дисконтирования выше, чем у бедных. Поэтому они все время увеличивают свои сбережения, обеспечивающие экономику капиталом, и в дополнение к заработной плате получают от этих сбережений возрастающий с течением времени доход.

Деление на «бедных» и «богатых» происходит эндогенным образом. Поэтому в модели к традиционным переменным добавляется еще одна переменная - доля «богатых» в населении страны, тогда как число соотношений, задающих равновесия, остается тем же, что и в случае однородного населения. Поэтому число переменных больше числа соотношений, определяющих стационарное равновесие, что и ведет к неопределенности.

Опишем базовую модель экономического роста, в которую далее введем предположение об эндогенном формировании коэффициента дисконтирования.

Рассматривается экономика, в которой выпуск валового национального продукта Y задается с помощью макроэкономической производственной функции У=Ф(К, L, А), где К - это (физический) капитал; L - рабочая сила, размер которой предполагается постоянным во времени; А - переменная, отражающая состояние технологии. Технический прогресс является нейтральным по Харроду (трудодобавляющим), т.е. Ф(К, L, А) = F(K, AL), где F: —» R+ - непрерывная, вогнутая, положительно однородная и непрерывно дифференцируемая внутри Rl функция. Величина AL представляет собой совокупную эффективную рабочую силу в экономике, а к = К / AL - капиталовооруженность эффективной рабочей силы.

Предполагаем, что А = К/Lk, где к > 0 - экзогенно заданная величина. Иными словами, общее количество эффективной рабочей силы пропорционально количеству капитала в экономике (AL = К / к), а ее капиталовооруженность равна к. Следовательно, выпуск валового национального продукта задается соотношением Y=aK, где a = F(k,Y)/k . Кроме того, предполагаем, что рынки труда и капитала являются конкурентными и всегда находятся в состоянии равновесия, а также, что коэффициент выбытия капитала равен нулю. Из этих предположений следует, что ставка процента г и величина w реальной заработной платы, приходящейся на единицу эффективной рабочей силы, определяются равенствами:

Заметим, что а = г + w/ к . Далее предполагаем, что г > 0 и w > 0 .

Будем рассматривать модели в дискретном времени t=0,l,... Каждый момент t является концом периода t- 1 и одновременно началом периода t. Равенство Yt=aKt, означает, что к началу периода t количество капитала в экономике равно Kt и за этот период (с момента t до момента времени М-1) выпуск продукции равен Yr Таким образом, в конце периода t (в момент времени М-1) национальное богатство равно Yt+Kt = (1 + a)Kt.

При заданном начальном уровне сбережений s0 > ~wK0 / (1 + r)Lk потребитель решает задачу максимизации полезности:

где /? ? (ОД) - коэффициент дисконтирования; At = Kt / Lk - количество (в момент времени t) эффективной рабочей силы, приходящейся на одного работника; м(с) = 1пс - функция полезности, показывающая, какую полезность индивид извлекает из своего собственного потребления с в течение единичного промежутка времени. Необходимые условия оптимальности для этой задачи потребителя имеют традиционный вид (1-1- r)/?u'(ct+1) = u'(ct), а поскольку и'(с) = с~[, то их можно переписать в виде ct+i =j3(l + r)ct.

Сделаем упрощающее предположение о том, что с самого начала сбережения всех потребителей абсолютно одинаковы. В этом случае условие равенства запаса капитала в экономике суммарным сбережениям в момент времени t имеет вид К, = stL , где st - сбережения отдельного потребителя.

Равновесная траектория характеризуется требованием равенства запаса капитала в экономике суммарным сбережениям в каждый момент времени с учетом предположения, что репрезентативный потребитель решает задачу максимизации полезности, бюджетные ограничения которой, в свою очередь, определяются динамикой накопления капитала. Важное свойство равновесных траекторий в рассматриваемом случае состоит в том, что за один шаг они переходят на траекторию сбалансированного роста, которая характеризуется для t= 1,2,... соотношениями

ct+i = (1 + ?*К , st+, =(l + g*)st,

Начиная с Кейнса, многие экономисты явно или неявно предполагали, что с ростом дохода или благосостояния потребителя его предельная и средняя склонность к потреблению падает. Недавние эмпирические исследования подтверждают это предположение. В случае, когда решение о потреблении и сбережениях вытекает из задачи оптимального межвременного выбора, оно выражается в том, что с ростом благосостояния потребителя растет его субъективный коэффициент дисконтирования.

Будем считать, что коэффициент дисконтирования Р является возрастающей функцией от богатства потребителя, соизмеренного с уровнем заработной платы. В момент времени t коэффициент дисконтирования задается равенством

где ф: [1, оо) —>? (0,1) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Данное предположение учитывает факт, что представление о высоком и низком уровне благосостояния модифицируется с течением времени и зависит от изменяющейся точки отсчета, в качестве которой выступает заработная плата одного работника (в рассматриваемом случае в качестве точки отсчета можно также взять и уровень производительности труда). Согласно данному предположению, у потребителя нет раз и навсегда заданного понятия об оптимальном межвременном поведении, поскольку его представление об оптимальности зависит от положения, в котором он оказался. Поэтому в рамках нашей модели понятие оптимальности становится менее определенным, чем обычно, и было бы довольно трудно обсуждать вопрос об оптимальности того или иного равновесия.

Существенным является предположение о неотрицательности сбережений: st> 0 (*=0,1,...). Если рассматривать потребителя как индивида с бесконечным горизонтом планирования, то это предположение означает, что он не может брать в долг на цели потребления. Если же рассматривать потребителя как династию, каждый член которой живет один период времени, то сбережения индивида следует рассматривать как наследство своему потомку, поэтому оно не может быть отрицательным (долги в наследство оставлять нельзя). Заметим, что данную модель можно обобщить на случай перекрывающихся поколений с возможностью наследования.

Подчеркнем, что в рамках сделанных предположений может возникнуть проблема временной несогласованности. Оптимальное решение потребителя, принятое в момент времени t, может оказаться неоптимальным с точки зрения ситуации, в которой окажется потребитель в момент t+1. Это произойдет в том случае, если изменится его коэффициент дисконтирования. В данной статье мы ограничимся рассмотрением стационарных траекторий, и в этом случае проблема возможной временной несогласованности разрешится сама собой.

Предположим, что задан темп роста g е (—1, г) эффективной рабочей силы, принадлежащей одному работнику, и пусть имеет место условие, что сбережения должны быть неотрицательными. В этих предположениях задача максимизации полезности приобретает вид:

где s, > 0, t = 0,1,... и величины > 0 и s0 > 0 являются заданными.

Требование неотрицательности сбережений позволяет записать необходимые условия оптимальности в следующем виде: (1 + г)J3u'(cl+l) < и'(с,) . Неравенство обращается в равенство при условии, что

При заданных ge(-l,r) и /? е (0,1) получаемая пара (с, 5) - есть равновесие потребителя, если при s0 = последовательность (c,,s,+1), задаваемая равенствами:

представляет собой решение поставленной задачи максимизации полезности.

Теперь надо формально ввести понятие стационарного равновесия для рассмотренной модели. Для этого уточним понятие траектории равновесного сбалансированного роста, на которой все натуральные показатели растут одним и тем же темпом. В частности, на такой траектории темп роста потребления одинаков для всех потребителей.

Предположим, что равновесный темп роста g < г нам известен. Для каждого отдельного потребителя динамика его потребления и сбережений должна задаваться соотношениями (*) при g = g*, где (с,s) - это согласованное равновесие потребителя. Следовательно, на траектории равновесного сбалансированного роста потребление отдельно взятого потребителя будет определяться равенством с, = (1 + g*)‘ А0с ,

где с = w+(r-g*)s*, a s* либо равняется нулю, либо является решением уравнения

  • 1 / (1+ФЛ/1 ч
  • 1 + S - Ф- (1 + г) относительно s при

w )

g = g . Отсюда вытекает, что на траектории равновесного сбалансированного роста могут существовать (не более чем) две группы населения. Одна группа характеризуется тем, что ее представители тратят на потребление всю свою заработную плату, а вторая - тем, что у каждого из её представителей имеются сбережения, которые постоянно растут в темпе g . Представители одной и той же группы находятся в абсолютно одинаковом положении. При этом не исключена вырожденная ситуация, когда всё население состоит только из одной группы. Будем называть первую группу «бедными», а вторую - «богатыми».

Заметим, что поскольку речь идет только о стационарных равновесиях, потребитель не принимает решения о том, быть ли ему «богатым» или «бедным». Если по не зависящим от потребителя причинам в какой-то момент времени он оказался «бедным», то «бедным» он и останется в дальнейшем. Дело в том, что если потребитель попал в класс «бедных», доходы которых ограничиваются заработной платой, то его субъективный коэффициент дисконтирования будет столь низким, что при данных ставке процента и темпе роста экономики ему будет невыгодно делать какие-то сбережения и в дальнейшем. Если потребитель оказался «богатым», то он и далее будет оставаться «богатым», поскольку его благосостояние достаточно велико для того, чтобы сделать субъективный коэффициент дисконтирования столь большим, что ему и далее будет выгодно делать сбережения, которые в будущем принесут новые доходы.

Обозначим через ^е[0,1] долю «богатых» в общей численности населения (индекс И). Соответственно, доля «бедных» (индекс Г) составляет 1 -(р. Ниже эти доли будут определяться эндогенно.

Под траекторией равновесного сбалансированного роста, исходящей из К0 > 0, понимается такая последовательность (clt,cht,sh t+l,Kl+1),=0ti,..., чт0 при A0=K0/Lk, некотором е [0,1] и некотором

g* < г для всех *=0,1,... выполняются следующие соотношения:

  • 1) сit = (1 + g*)' А0с*, где пара *, 0) представляет собой согласованное равновесие потребителя при g = g*;
  • 2) ch, = (l +g* У А)с1 и =(l + g*)l+lAsl > где пара (c*h,s*h) является согласованным равновесием потребителя при ?? = ??*;
  • 3) ^+1=(i+/),+1H = W^-

Заметим, что для любой траектории равновесного сбалансированного роста всегда выполняется материальный баланс:

Теперь можно ввести определение равновесия.

Состоянием равновесия модели называется набор, который характеризуется следующими свойствами:

  • 1) пара (с*,0) представляет собой согласованное равновесие потребителя при g - g;
  • 2) пара (ch, s*h) представляет собой согласованное равновесие потребителя при g-g*‘,
  • 3) h = к.

Число g , фигурирующее в этом определении, называется равновесным темпом роста.

Можно заметить, что каждой траектории равновесного сбалансированного роста соответствует единственное состояние равновесия, а каждому состоянию равновесия соответствует единственная с точностью до выбора К0 траектория равновесного сбалансированного роста.

Таким образом, все готово для того, чтобы сформулировать основной результат, состоящий в том что, в отличие от большинства моделей подобного типа, состояние равновесия в рассматриваемой модели является не только неединственным (такая ситуация в некоторых моделях встречается), но и неопределенным [8], [9]. Как уже указывалось выше, деление населения на «бедных» и «богатых» происходит эндогенно. А само деление происходит именно эндогенно благодаря тому, что в моделях допускаются механизмы обратной связи, при которых межвременные предпочтения потребителей зависят от их текущего положения. Конечно, в реальной жизни такого типа обратные связи имеют место не только в отношении межвременных предпочтений потребителей, но и в отношении многих других сторон их поведения [10]- [14].

Предварительно заметим, что, как и в случае, когда коэффициент дисконтирования является экзогенно заданным, для равновесного темпа роста выполняется равенство 1+g = /3(1 +г) с той лишь разницей, что у3 - это не общий для всех потребителей коэффициент дисконтирования, а коэффициент дисконтирования «богатых», множество допустимых значений которого представляет собой целый интервал. В результате получается, что и множество равновесных темпов роста тоже представляет собой интервал.

Если в модели эндогенного роста коэффициент дисконтирования задан однозначным образом, то равновесный темп роста полностью определяется экзогенными параметрами модели. В этом случае можно надеяться, что в долгосрочной перспективе темп роста экономики не зависит от начального состояния.

Если коэффициент дисконтирования формируется эндогенно, ситуация меняется радикальным образом: равновесный темп роста оказывается не только неединственным, но и неопределенным. Тем самым, для того чтобы предсказать, каким темпом будет расти экономика, уже недостаточно знать экзогенные параметры модели.

III. Заключение

В статье анализ был ограничен только стационарными равновесиями. Более того, в рамках предложенной модели не совсем понятно, как можно однозначно задать динамику развития, если с самого начала экономика случайным образом не попала на траекторию сбалансированного роста, поскольку любая попытка аккуратным образом ввести понятие равновесной траектории, исходящей из произвольного начального состояния, наткнется на отмеченную выше проблему временной несогласованности. В то же время полученные результаты позволяют с большой долей уверенности утверждать, что темп роста экономики в долгосрочной перспективе самым существенным образом зависит от начального состояния, которое сформировалось в результате предшествующего исторического развития. И именно в этом состоит суть той неопределенности, которая была выявлена для предложенной в этой модели.

Литература

[1] Полев, В. А. Математическое моделирование экономических систем [Текст] / В. А. Полев // Моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2012. - № 1 (12). -С. 4-10.

[2] Стародубцев, В. С. Математическое моделирование социально-экономических процессов [Текст] / В. С. Стародубцев, Е.С. Сотникова // Моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2012. - № 2 (13). - С. 45-54.

[3] Свистов, В. В. Определение методов моделирования социальных систем [Текст] / В. В. Свистов // Моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов - Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2007. - № 1.-С. 46-50.

[4] Гайдай, В. А. Генетические алгоритмы без функции приспособленности и их приложение для генерации баз знаний ситуационных советующих систем [Текст] /

B. А. Гайдай // Моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов,- Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2010. - № 2 (9). - С. 5-16.

[5] Незнамова, Е. П. К вопросу о стратегии управления социально-экономической системой в современных условиях [Текст] / Е. П. Незнамова // Моделирование и управление в сложных системах: сборник научных трудов,- Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2009. - № 1 (5). -

C. 29-32.

[6] Борисов, К. Ю. Динамическая модель экономики с континуумом стационарных равновесий [Текст] / К. Ю. Борисов / Доклады Академии наук. - 2003. - Т. 389. - №2.-С. 151-153.

[7] Lusardi, A. Permanent Income, Current Income, and Consumption: Evidence from Two Data Sets [Текст] /А. Lusardi // J. of Business and Econ. Statistics. -1996. - Vol. 14.-P. 187-192.

[8] Полев, В. А. Модель эндогенного экономического роста в условиях неопределённых равновесий [Текст] /В. А. Полев // Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов - Воронеж : Воронежский госуниверситет, 2007. - № 1. - С. 34-41.

[9] Полев, В. А. Формирование критериев оптимального поведения фирмы в условиях неопределённости [Текст] / В. А. Полев // Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов,- Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2007. - № 2. - С. 11 -17.

[10] Полев, В. А. Моделирование социальных и социально- экономических систем [Текст] / В. А. Полев, В. С. Стародубцев // Всероссийская научно-практическая конференция «Охрана, безопасность и связь» : сборник материалов.- Воронеж : Воронежский институт МВД России, 2003. - Ч. 2. - С.70-71.

[11] Стародубцев, В. С. Информационные технологии математического моделирования экономических систем [Текст] / В. С. Стародубцев, С. Ф. Кирпичников / Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2007. - № 2. - С.42-43.

[12] Стародубцев, В. С. Информационные технологии идентификации прогностической модели микроэкономического процесса [Текст] / В. С. Стародубцев, К. Г. Хацац, А. А. Шевченко / Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ «Воронеж», 2007. - № 2,- С. 43-47.

[13] Свистов, В.В. Сценарное планирование в управлении развитием социально-экономических систем [Текст] / В. В. Свистов // Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ Воронеж, 2011. - №2 (11). - С. 38-42.

[14] Свистов, В. В. Информационное управление в социальных системах [Текст] / В. В. Свистов // Моделирование и управление в сложных системах : сборник научных трудов. - Воронеж : ИПФ Воронеж, 2013. - № 1 (14).-С. 18-23.

УДК 681.3

DOI: 10.12737/13440

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>