Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Распределение Бернулли

Еще одно достаточно распространенное распределение — распределение Бернулли. Данное распределение описывает ситуацию, когда случайная переменная может принимать только два возможных значения, например орел или решка, удача или провал, попадание или промах и т.д. Таким образом, можно сказать, что распределение Бернулли является дискретным распределением (в противоположность непрерывному распределению). Распределение полностью описывается одним параметром Р, который является вероятностью происхождения первого события. Дисперсия в распределении Бернулли такова:

где

В.З и В.4 показывают плотность вероятности и функцию распределения (т.е. CDF) соответственно

Рис. В.З и В.4 показывают плотность вероятности и функцию распределения (т.е. CDF) соответственно.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение возникает при выборке данных из распределения Бернулли. Функция плотности вероятности N'(X) биномиального распределения (вероятность X успехов за N попыток, или X дефектов в N предметах, или X орлов за N бросков монеты и т.д.) такова:

где N — число попыток;

X — число успехов;

Р — вероятность успеха в одной попытке;

Q = 1 - Р.

Восклицательный знак после переменной — это знак факториала: что можно также представить следующим образом:

Кроме того, принимается, что:

Функция распределения задается следующим образом:

где N — число попыток;

X — число успехов;

Р — вероятность успеха в одной попытке;

Q = 1 - Р

Рис. В.5 и В.6 показывают плотность вероятности и функцию распределения (т. е. CDF) соответственно.

Биномиальное распределение является дискретным распределением. Другие характеристики биномиального распределения таковы:

где N — число попыток;

Р — вероятность успеха в одной попытке;

Q = 1 - Р.

При увеличении N биномиальное распределение стремится к нормальному распределению, таким образом, нормальное распределение является предельной

В. 5. Функция плотности вероятности биномиального распределения

Рис. В. 5. Функция плотности вероятности биномиального распределения

(N = 5, Р = 0,5)

В. 6. Функция распределения (N = 5, Р = 0,5)

Рис. В. 6. Функция распределения (N = 5, Р = 0,5)

формой биномиального. Вообще, если N * Р и N * Q больше 5, тогда вместо биномиального распределения можно использовать нормальное распределение, что будет достаточно точным приближением.

Биномиальное распределение часто используется для статистического подтверждения игровой системы. Поясним это на примере. Допустим, у нас есть система, которая выигрывает 51% времени. Мы хотим определить, каким будет процент выигрыша, если система станет работать на 3 стандартных отклонения хуже. Мы можем провести расчеты по первому уравнению теста:

где L — нижняя граница Р при Z стандартных отклонений;

Р — процент прибыли;

Z — выбранное число стандартных отклонений;

N — общее число событий в выборке.

Допустим, выборка состоит из 100 игр. Таким образом:

На основе 100 игр, которые генерировали 51% выигрышей, мы можем сказать, что необходимо событие 3 сигма, чтобы процент выигрышей системы был меньше 35,92744819.

Каков доверительный уровень в этом случае? Все зависит от N, т. е. общего числа игр в выборке. Мы можем определить доверительный уровень достижения 35 или 36 выигрышей при 100 бросках по уравнению (В.9). Однако при больших N уравнение (В.9) неудобно в использовании из-за факториалов. В качестве очень хорошего приближения для биномиальных вероятностей можно использовать нормальное распределение (уравнение (3.21) для 1-хвостых вероятностей). В случае с нашим примером с помощью уравнения (3.21) три стандартных отклонения преобразуются в доверительный уровень 99,865%. Таким образом, если бы мы играли в этой игровой системе бесконечно долго, то были бы на 99,865% уверены, что процент выигрышей больше или равен 35,92744819%.

Данный метод можно использовать также для статистического подтверждения торговых систем. Однако метод работает только при определенных допущениях. Во-первых, N событий (сделок) должны быть независимы и выбраны произвольно (это легко сделать для любой торговой системы). Во-вторых, N событий (сделок) необходимо разделить на две взаимно исключающие группы (выигрыши и проигрыши; прибыли, большие или меньшие, чем прибыль в средней сделке; и т.д.); подобное допущение также может быть легко выполнено. В-третьих, вероятность события, попадающего в одну из двух взаимно исключающих групп, не меняется от одного события к другому, что не обязательно справедливо для торговли, и данное допущение не всегда выполняется. Как бы то ни было, метод может представлять определенный интерес для трейдеров.

Подобный подход можно использовать не только для расчета доверительного уровня определенной прибыльной системы, метод можно также использовать для определения доверительного уровня рыночного индикатора. Например, если у вас есть индикатор, который прогнозирует направление закрытия следующего дня, то возникают две взаимно исключающие группы: правильные прогнозы и неправильные прогнозы. Таким образом, вы можете выразить надежность индикатора с помощью доверительного уровня.

Данный метод можно также использовать для определения числа попыток, необходимых для подтверждения прибыльности системы при заданном доверительном уровне. Например, у нас есть игровая система, которая выигрывает 51% времени и выплачивает 1:1. Мы хотим знать, сколько попыток следует сделать, чтобы быть уверенными, что при заданном доверительном уровне система прибыльна в асимптотическом смысле. Таким образом, мы можем переформулировать проблему: «Если система выигрывает 51% времени, сколько попыток должен я сделать, чтобы считать, что при данном доверительном уровне она имеет уровень прибыльности 51 %?»

Так как выигрыш составляет 1:1, система должна выигрывать более 50% времени, чтобы считаться прибыльной. Например, мы выбираем доверительный уровень 99,865, что соответствует 3 стандартным отклонениям (хотя мы используем 3 стандартных отклонения, можно использовать любое число стандартных отклонений, приемлемое с нашей точки зрения). Сколько попыток надо сделать, чтобы на 99,865% быть уверенным, что по крайней мере 51% попыток будут выигрышными?

Если 0,51 - X = 0,5, тогда X = 0,01, поэтому Z * ((Р * (1 — P))/(N - 1)) л 0,5 = = 0,01. Так как в данном случае Z = 3, а 0,01/3 = 0,0033, то:

Мы знаем, что Р = 0,51, таким образом:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Далее:

Таким образом, нужно провести 22 492 сделки, и тогда мы на 99,865% будем уверены, что система имеет 51%-ный уровень прибыльности.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>