Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Геометрия портфелей

Мы уже познакомились с несколькими способами расчета оптимального /для рыночных систем. Также мы знаем, как найти эффективную границу. В этой главе мы покажем, как объединить идею оптимального /и идею эффективной границы для получения действительно эффективного портфеля, геометрический рост которого максимален. Мы также коснемся геометрии портфеля.

Линии рынка капитала (Capital Market Lines — CML)

Из предыдущей главы мы узнали, как параметрически вывести эффективную границу. Мы можем улучшить любой портфель путем инвестирования определенной его доли в наличные (или, что то же самое, в беспроцентный вклад). Рис. 7.1 демонстрирует эту ситуацию графически.

На рис. 7.1 точка А отражает прибыль по безрисковым активам. Мы будем считать, что это прибыль по 91-дневным казначейским обязательствам. Так как риск в данном случае (стандартное отклонение прибылей) отсутствует, точка А находится на нуле по горизонтальной оси.

Увеличение прибылей с помощью безрисковых активов

Рис. 7.1. Увеличение прибылей с помощью безрисковых активов

Точка В соответствует касательному портфелю. Это единственный портфель, лежащий на эффективной границе, которого коснется линия, проведенная из точки с координатой: безрисковая ставка прибыли на вертикальной оси и ноль на горизонтальной оси. Любая точка на отрезке АВ соответствует портфелю из точки В в комбинации с безрисковыми активами. В точке В все средства вложены только в портфель, а в точке А — только в безрисковые активы. Любая точка между А и В соответствует определенной комбинации, когда часть активов находится в портфеле, а часть — в безрисковых активах. Отметьте, что портфель на отрезке АВ более выгоден, чем любой портфель на эффективной границе при том же уровне риска, так как, находясь на отрезке АВ, он имеет более высокую прибыль при том же уровне риска. Таким образом, инвестору, который хочет получить менее рискованный портфель, чем портфель В, следует инвестировать средства в портфель Вив безрисковые активы, а не смещаться по эффективной границе в точку с меньшим риском.

Линия, выходящая из точки А безрискового уровня на вертикальной оси и нуля на горизонтальной оси и касающаяся в одной точке эффективной границы, называется линией рынка капитала (CML). Справа от точки В линия CML представляет портфели, где инвестор занимает средства для инвестирования в портфель В. Отметьте, что инвестору, который хочет получить большую прибыль, чем дает портфель В, следует поступить именно таким образом, поскольку портфели на CML справа от точки В дают более высокую прибыль, чем портфели на эффективной границе при том же уровне риска. Как правило, В — очень хорошо диверсифицированный портфель. Большинство портфелей, расположенных справа сверху и слева снизу на эффективной границе, имеют очень мало компонентов, а портфели в середине эффективной границы, где проходит касательная, достаточно хорошо диверсифицированы.

Традиционно считается, что все разумные инвесторы хотят получить максимальную прибыль при данном риске и принять наименьший риск при заданной прибыли. Таким образом, все инвесторы хотят быть где-то на CML. Другими словами, все инвесторы хотят держать один и тот же портфель, но с различной долей заемных средств. Данное различие между инвестиционным решением и инвестированием с использованием заемных средств известно как теорема разделений.

Мы будем исходить из того, что вертикальная шкала (Е в теории E-V) выражает арифметическое среднее HPR (AHPR) для портфелей, а горизонтальная шкала (V) отражает стандартное отклонение HPR. Для заданной безрисковой ставки мы можем определить, где находится касательный портфель на нашей эффективной границе, так как его координаты (AHPR, V) максимизируют следующую функцию:

где МАХ{} — максимальное значение;

AHPR — арифметическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

SD — стандартное отклонение HPR, т.е. координата V данного портфеля на эффективной границе;

RFR — безрисковая ставка (risk-free rate). [1]

В уравнении (7.1, а) формула внутри фигурных скобок представляет собой отношение Шарпа. Отношение Шарпа для портфеля — это отношение ожидаемых избыточных значений прибыли к стандартному отклонению. Портфель с наибольшим отношением Шарпа является портфелем, где CML касается эффективной границы при данном значении RFR.

Следующая таблица показывает, как использовать уравнение (7.1, а). В первых двух столбцах указаны координаты различных портфелей на эффективной границе. Координаты даны в формате (AHPR, SD), что соответствует осям Y и X рис. 7.1. В третьем столбце представлены данные, полученные из уравнения (7.1, а) при безрисковой ставке 1,5% (AHPR = 1,015). Мы исходим из того, что HPR имеют квартальные значения; таким образом, квартальная безрисковая ставка 1,5% примерно равна годовой безрисковой ставке 6%. Например, для третьего набора координат (1,002; 0,00013) получим:

(AHPR - (1 + RFR)) / SD = (1,002 - (1 + 0,015)) / 0,00013 =

= (1,002- 1,015)/0,00013 =

= -0,013/0,00013 =

Проведем данный расчет для каждой точки на эффективной границе. Максимальное значение уравнения (7.1, а) 0,502265 соответствует координатам (1,03; 0,02986), они задают точку, которая соответствует точке В на рис. 7.1, где CML касается эффективной границы. Точка касания соответствует определенному портфелю на эффективной границе. Отношение Шарпа определяет наклон С ML, причем самым крутым наклоном обладает касательная к эффективной границе.

Эффективная граница

CML

АН PR

SD

Уравнение (7.1, а)

Процент

AHPR

RFR = 0,015

1,00000

0,00000

0

0,00%

1,0150

1,00100

0,00003

-421,902

0,11%

1,0150

1,00200

0,00013

-100,000

0,44%

1,0151

1,00300

0,00030

-40,1812

1,00%

1,0152

1,00400

0,00053

-20,7184

1,78%

1,0153

Продолжение

Эффективная граница

CML

AHPR

SD

Уравнение (7.1, а)

Процент

AHPR

1,00500

0,00083

-12,0543

2,78%

1,0154

1,00600

0,00119

-7,53397

4,00%

1,0156

1,00700

0,00163

-4,92014

5,45%

1,0158

1,00800

0,00212

-3,29611

7,11%

1,0161

1,00900

0,00269

-2,23228

9,00%

1,0164

1,01000

0,00332

-1,50679

11,11%

1,0167

1,01100

0,00402

-0,99622

13,45%

1,0170

1,01200

0,00478

-0,62783

16,00%

1,0174

1,01300

0,00561

-0,35663

18,78%

1,0178

1,01400

0,00650

-0,15375

21,78%

1,0183

1,01500

0,00747

0

25,00%

1,0188

1,01600

0,00849

0,117718

28,45%

1,0193

1,01700

0,00959

0,208552

32,12%

1,0198

1,01800

0,01075

0,279036

36,01%

1,0204

1,01900

0,01198

0,333916

40,12%

1,0210

1,02000

0,01327

0,376698

44,45%

1,0217

1,02100

0,01463

0,410012

49,01%

1,0224

1,02200

0,01606

0,435850

53,79%

1,0231

1,02300

0,01755

0,455741

58,79%

1,0238

1,02400

0,01911

0,470873

64,01%

1,0246

1,02500

0,02074

0,482174

69,46%

1,0254

1,02600

0,02243

0,490377

75,12%

1,0263

1,02700

0,02419

0,496064

81,01%

1,0272

1,02800

0,02602

0,499702

87,12%

1,0281

1,02900

0,02791

0,501667

93,46%

1,0290

1,03000

0,02986

0,502265 (пик)

100,02%

1,0300

1,03100

0,03189

0,501742

106,79%

1,0310

Продолжение

Эффективная граница

CML

AHPR

SD

Уравнение (7.1, а)

Процент

AHPR

1,03200

0,03398

0,500303

113,80%

1,0321

1,03300

0,03614

0,498114

121,02%

1,0332

1,03400

0,03836

0,495313

128,46%

1,0343

1,03500

0,04065

0,492014

136,13%

1,0354

1,03600

0,04301

0,488313

144,02%

1,0366

1,03700

0,04543

0,484287

152,13%

1,0378

1,03800

0,04792

0,480004

160,47%

1,0391

1,03900

0,05047

0,475517

169,03%

1,0404

1,04000

0,05309

0,470873

177,81%

1,0417

1,04100

0,05578

0,466111

186,81%

1,0430

1,04200

0,05853

0,461264

196,03%

1,0444

1,04300

0,06136

0,456357

205,48%

1,0458

1,04400

0,06424

0,451416

215,14%

1,0473

1,04500

0,06720

0,446458

225,04%

1,0488

1,04600

0,07022

0,441499

235,15%

1,0503

1,04700

0,07330

0,436554

245,48%

1,0518

1,04800

0,07645

0,431634

256,04%

1,0534

1,04900

0,07967

0,426747

266,82%

1,0550

1,05000

0,08296

0,421902

277,82%

1,0567

Следующий столбец «Процент» отражает процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, если вы находитесь на CML при определенном значении стандартного отклонения. Другими словами, последняя строка в таблице (при стандартном отклонении 0,08296) соответствует наличию 277,82% ваших активов в касательном портфеле (основная сумма инвестиций и заем еще 1,7782 долл, на каждый инвестированный доллар для дальнейшего инвестирования). Процентное значение можно рассчитать, если знать стандартное отклонение касательного портфеля:

где SX — координата стандартного отклонения определенной точки на CML;

ST — координата стандартного отклонения касательного портфеля;

Р — процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, чтобы быть на линии CML для данного значения SX.

Таким образом, если значение стандартного отклонения точки на линии CML (0,08296) из последней строки таблицы разделить на значение стандартного отклонения касательного портфеля (0,02986), мы получим 2,7782, что соответствует 277,82%.

В последнем столбце таблицы показано AHPR линии CML при данной координате стандартного отклонения. Оно рассчитывается следующим образом:

где ACML — AHPR линии CML при данной координате риска, или соответствующем проценте, рассчитанном из (7.2);

АТ — значение AHPR касательной точки, полученное из (7.1, а);

Р — процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.2);

RFR — безрисковая ставка.

Стандартное отклонение определенной точки на CML для данного AHPR рассчитывается следующим образом:

где SD — стандартное отклонение в данной точке на CML при определенном проценте Р, соответствующем данному AHPR;

Р — процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.2);

ST — значение стандартного отклонения касательного портфеля.

  • [1] См.: Tobin, James, «Liquidity Preference as Behavior Towards Risk», Review of EconomicStudies 25, pp. 65—85, February 1958.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>