Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой определенного количества элементов. Многочлен с одним элементом называется одночленом, с двумя элементами — двучленом, с тремя — трехчленом и т. д. Выражение 4*АлЗ+Ал2 + А + 2 является многочленом, имеющим четыре члена. Члены отделены знаком (+).

Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется значением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента является сумма показателей переменных, содержащихся в элементе. Показанное выше выражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * А Л 3 имеет третью степень, а это — наивысшая степень среди всех элементов данного многочлена. Если бы элемент был равен 4*АЛ3*ВЛ2*С, мы получили бы многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3 + 2 + 1) равна 6.

Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графически задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадратным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т. д. Графики многочленов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь любое число элементов и любую степень, но мы будем работать только с линейными уравнениями, т.е. многочленами первой степени.

Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса—Жордана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения.

Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширенную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных членов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения единичной матрицы. С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опишем их ниже).

Единичная матрица является квадратной матрицей коэффициентов, где все элементы равны нулю, кроме диагональной линии элементов, которая начинается в верхнем левом углу. Для матрицы коэффициентов «шесть на шесть» единичная матрица будет выглядеть следующим образом:

  • 100000
  • 010000
  • 001000
  • 000100
  • 000010
  • 000001

Матрица, где число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Благодаря обобщенной форме задачи минимизации V для данного Е, мы всегда будем иметь дело с квадратными матрицами коэффициентов.

Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквивалентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца. Единица в первой строке единичной матрицы соответствует переменной X,, поэтому значение на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для X,. Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки содержится ответ для Х2, так как единица во второй строке соответствует Х2. Используя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразования в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу.

Из единичной матрицы можно получить ответы для весов X,, . . XN — компонентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для данного уровня ожидаемой прибыли Е1.

Можно проводить три типа построчных операций:

  • 1. Поменять местами любые две строки.
  • 2. Умножить любую строку на ненулевую постоянную.
  • 3. Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой другой строке.

С помощью этих трех операций мы попытаемся преобразовать исходную матрицу коэффициентов в единичную матрицу.

В расширенной матрице проведем элементарное преобразование номер 1, используя правило номер 2 построчных операций. Мы возьмем значение на пересечении первой строки и первого столбца (оно равно 0,095) и преобразуем его в единицу. Для этого умножим первую строку на 1/0,095. В результате значение на пересечении первой строки и первого столбца станет равно единице. Остальные значения в первой сроке изменятся соответствующим образом.

Проведем элементарное преобразование номер 2. Для этого задействуем правило номер 3 построчных операций (для всех строк, кроме первой). Предварительно для всех строк проведем элементарное преобразование номер 1, преобразовав число, стоящее в первом столбце каждой строки, в единицу. Затем все числа матрицы, кроме чисел первой строки, умножим на —1.

После этого можно перейти к непосредственному применению правила номер 3. Для этого прибавим первую строку к каждой строке матрицы: первое число первой строки прибавим к первому числу второй строки, второе число первой строки — ко второму числу второй строки и т.д. После этого преобразования мы получим нули в первом столбце (во всех строках, кроме первой).

Теперь первый столбец уже является столбцом единичной матрицы. С помощью элементарного преобразования номер 3, используя правило номер 2 построчных операций, преобразуем значения на пересечении второй строки и второго столбца в единицу. Посредством элементарного преобразования 4, используя правило номер 3 построчных операций, преобразуем в нули значения второго столбца (для всех строк, кроме второй).

Таким образом, с помощью правила номер 2 и правила номер 3 построчных операций мы преобразуем значения по диагонали в единицы и получим единичную матрицу. Столбец с правой стороны будет содержать решение.

Веса, при которых мы получаем портфель с минимальным V для данного Е, будут точны настолько, насколько точны значения входных данных Е и V и коэффициенты линейной корреляции каждой возможной пары компонентов.

Первоначальная расширенная матрица

X,

X,

Х3

Х4

L,

Ц

| Ответ

Объяснение

0,095

0,13

0,21

0,085

0

0

! 0,14

1

1

1

1

0

0

| 1

0,1

-0,023

0,01

0

0,095

1

| 0

-0,023

0,25

0,079

0

0,13

1

1 0

0,01

0,079

0,4

0

0,21

1

| 0

0

0

0

0

0,085

1

! о

Элементарное преобразование 1

X,

Х2

х3

х4

ь2

Ответ

Объяснение

1

1,3684

2,2105

0,8947

0

0

1,47368

Строка 1 * (1/0,095)

1

1

1

1

0

0

1

0,1

-0,023

0,01

0

0,095

1

0

-0,023

0,25

0,079

0

0,13

1

0

0,01

0,079

0,4

0

0,21

1

0

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 2

х,

X.

х3

х4

L,

ь2

Ответ

Объяснение

1

1,3684

2,2105

0,8947

0

0

1,47368

0

- 0,368

-1,210

0,1052

0

0

-0,4736

Строка 2 + (-1 * строка 1)

0

-0,160

-0,211

-0,089

0,095

1

-0,1473

Строка 3 + (-0,1 * строка 1)

0

0,2824

0,1313

0,0212

0,13

1

0,03492

Строка 4 + (0,0237 * строка 1)

0

0,0653

0,3778

-0,008

0,21

1

-0,0147

Строка 5 + (—0,01 * строка 1)

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 3

х,

X.

х3

х4

L,

ь2

Ответ

Объяснение

1

1,3684

2,2105

0,8947

0

0

1,47368

0

1

3,2857

-0,285

0

0

1,28571

Строка 2 * (1 / -0,36842)

0

-0,160

-0,211

-0,089

0,095

1

-0,1473

0

0,2824

0,1313

0,0212

0,13

1

0,03492

0

0,0653

0,3778

-0,008

0,21

1

-0,0147

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 4

X,

Х2

Х3

х4

h

Ответ

Объяснение

1

0

-2,285

1,2857

0

0

-0,2857

Строка 1 + (— 1,368421 * строка 2)

0

1

3,2857

-0,285

0

0

1,28571

0

0

0,3164

-0,135

0,095

1

0,05904

Строка 3 + (0,16054 * строка 2)

0

0

-0,796

0,1019

0,13

1

-0,3282

Строка 4 + (-0,282431 * строка 2)

0

0

0,1632

0,0097

0,21

1

-0,0987

Строка 5 + (-0,065315 * строка 2)

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 5

х,

Х2

Х3

х4

L,

Ь2

Ответ

Объяснение

1

0

-2,285

1,2857

0

0

-0,2857

0

1

3,2857

-0,285

0

0

1,28571

0

0

1

-0,427

0,3002

3,1602

0,18658

Строка 3 * (1/0,31643)

0

0

-0,796

0,1019

0,13

1

-0,3282

0

0

0,1632

0,0097

0,21

1

-0,0987

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 6

х,

X,

Х3

Х4

Li

l2

Ответ

Объяснение

1

0

0

0,3080

0,6862

7,2233

0,14075

Строка 1 + (2,2857 * строка 3)

0

1

0

1,1196

-0,986

-10,38

0,67265

Строка 2 + (—3,28571 * строка 3)

0

0

1

-0,427

0,3002

3,1602

0,18658

0

0

0

-0,238

0,3691

3,5174

-0,1795

Строка 4 + (0,7966 * строка 3)

0

0

0

0,0795

0,1609

0,4839

-0,1291

Строка 5 + (-0,16328 * строка 3)

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 7

X,

Х2

Х3

Х4

L,

h

Ответ

Объяснение

1

0

0

0,3080

0,6862

7,2233

0,14075

0

1

0

1,1196

-0,986

-10,38

0,67265

0

0

1

-0,427

0,3002

3,1602

0,18658

0

0

0

1

-1,545

-14,72

0,75192

Строка 4 * (1 / —0,23881)

0

0

0

0,0795

0,1609

0,4839

-0,1291

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 8

х,

Х2

Х3

Х4

L,

ь2

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

1,1624

11,760

-0,0908

Строка 1 + (-0,30806 * строка 4)

0

1

0

0

0,7443

6,1080

-0,1692

Строка 2 + (— 1,119669 * строка 4)

0

0

1

0

-0,360

-3,139

0,50819

Строка 3 + (0,42772 * строка 4)

0

0

0

1

-1,545

-14,72

0,75192

0

0

0

0

0,2839

1,6557

-0,1889

Строка 5 + (—0,079551 * строка 4)

0

0

0

0

0,085

1

0

Элементарное преобразование 9

х,

Х2

Хз

Х4

L,

ь2

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

1,1624

11,761 '

-0,0909

0

1

0

0

0,7445

6,1098 |

-0,1693

0

0

1

0

-0,361

-3,140 !

0,50823

0

0

0

1

-1,545

-14,72 1

0,75192

0

0

0

0

1

5,8307 !

-0,6655

Строка 5 * (1/0,28396)

0

0

0

0

0,085

1 !

0

Элементарное преобразование 10

X,

Х2

Х3

Х4

h

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

0

4,9831

0,68280

Строка 1 + (—1,16248 * строка 5)

0

1

0

0

0

1,7685

0,32620

Строка 2 + (-0,74455 * строка 5)

0

0

1

0

0

-1,035

0,26796

Строка 3 + (0,3610 * строка 5)

0

0

0

1

0

-5,715

-0,2769

Строка 4 + (1,5458 * строка 5)

0

0

0

0

1

5,8312

-0,6655

0

0

0

0

0

0,5043

0,05657

Строка 6 + (—0,085 * строка 5)

Элементарное преобразование 11

X,

X,

Х3

Х4

L,

Ц

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

0

4,9826

0,68283

0

1

0

0

0

1,7682

0,32622

0

0

1

0

0

-1,035

0,26795

0

0

0

1

0

-5,715

-0,2769

0

0

0

0

1

5,8312

-0,6655

0

0

0

0

0

1

0,11217

Строка 6 * (1/0,50434)

Элементарное преобразование 12

х,

Х2

Х3

Х4

h

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

0

0

0,12391

Строка 1 + (—4,98265 * строка 6)

0

1

0

0

0

0

0,12787

Строка 2 + (-1,76821 * строка 6)

0

0

1

0

0

0

0,38407

Строка 3 + (1,0352 * строка 6)

0

0

0

1

0

0

0,36424

Строка 4 + (5,7158 * строка 6)

0

0

0

0

1

0

-1,3197

Строка 5 + (-5,83123 * строка 6)

0

0

0

0

0

1

0,11217

Полученная единичная матрица

X,

Х2 Х3

Х4

L,

h

Ответ

Объяснение

1

0

0

0

0

0

0,12391

= х,

0

1

0

0

0

0

0,12787

= х2

0

0

1

0

0

0

0,38407

= Хз

0

0

0

1

0

0

0,36424

= х4

0

0

0

0

1

0

-1,3197/0,5

= -2,6394 = L,

0

0

0

0

0

1

0,11217/0,5

= 0,22434 = Ц

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>