Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Одиночная позиция по базовому инструменту

В главе 3 мы подробно рассмотрели математику поиска оптимального f параметрическим способом. Теперь мы можем использовать тот же метод и для одиночной длинной опционной позиции с учетом нового HPR, которое рассчитывается по уравнению (3.30):

где HPR( U) = Н PR для данного U;

L— ассоциированное P&L;

W — ассоциированное P&L худшего случая (это всегда отрицательное значение);

f — тестируемое значение f;

Р — ассоциированная вероятность.

Для длинной позиции переменная L, т. е. ассоциированное P&L, определяется как разность между ценой базового инструмента U и ценой S:

Для короткой позиции ассоциированное P&L рассчитывается наоборот:

где S — текущая цена базового инструмента;

U — цена базового инструмента для данного HPR.

Мы можем также рассчитать оптимальное f для одиночной позиции по базовому инструменту, используя уравнение (5.14). При этом надо иметь в виду, что оптимальное f может получиться больше 1.

Пусть цена базового инструмента равна 100, и мы ожидаем пять результатов:

Результат

Вероятность

P&L

110

0,15

10

105

0,30

5

100

0,50

0

95

0,25

-5

90

0,10

-10

Отметьте, что исходя из уравнения (5.10) наше арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту составляет 100,576923077. Это означает, что переменная Y для (5.14) равна 0,576923077, так как 100,576923077 - 100 = = 0,576923077.

Если рассчитать оптимальное f, используя столбец P&L и уравнение (3.30), получим f = 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 долл, на счете.

Если в уравнении (5.14) использовать данные из столбца «Результат», тогда переменная S равна 100. В этом случае мы не вычитаем значение Y (арифметическое математическое ожидание базового инструмента минус его текущая цена) из U при определении переменной Z(T, U — Y) и получаем оптимальное f около 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 долл, на счете, так как 100 /1,9 = = 52,63.

Если вычесть значение Y в выражении Z(T, U — Y), являющемся элементом уравнения (5.14), мы получим математическое ожидание по базовому инструменту, равное его текущему значению, и поэтому f не будет оптимальным. Тем не менее нам следует вычесть значение Y в Z(T, U — Y) для того, чтобы соответствовать расчетам цен опционов, а также формуле пут-колл-паритета.

Если мы будем использовать уравнение (3.30) вместо уравнения (5.14), тогда из каждого значения U в уравнениях (5.21, а) и (5.21, б) следует вычесть значение Y, т.е. надо вычесть Y из каждого P&L, что опять же создает ситуацию, когда нет положительного математического ожидания и поэтому нет оптимального значения f.

Все вышесказанное означает, что если мы откроем позицию по базовому инструменту, не имея никаких представлений о направлении движения его цены, то не получим положительного математического ожидания (как происходит с некоторыми опционами) и поэтому не найдем оптимального f. Мы можем получить оптимальное f только в том случае, когда математическое ожидание положительное. Это произойдет, если базовый инструмент «в тренде».

Теперь у нас есть методология, позволяющая определить оптимальное f (и его побочные продукты) для опционов и базового инструмента (разными способами).

Отметьте, что используемые в этой главе методы определения оптимальных f и побочных продуктов для опционов или базового инструмента не требуют обязательного применения механической системы. Вспомним, что эмпирический метод поиска оптимального f основан на эмпирическом потоке P&L, созданном механической системой. Из главы 3 мы узнали о параметрическом методе поиска оптимального f на основе данных, которые имеют нормальное распределение. Тот же метод можно использовать для поиска оптимального f при любом распределении данных, если существует функция распределения. В главе 4 мы познакомились с параметрическим методом поиска оптимального f для распределений торговых P&L, которые не имеют функций распределения (для механической или немеханической системы) и с методом планирования сценария.

В этой главе мы изучили метод поиска оптимального f для немеханических систем. Обратите внимание, все расчеты допускают, что вы в некоторый момент времени «слепо» открываете позицию, причем направленного движения цены базового инструмента не ожидается.

Таким образом, предложенный метод лишен какого-либо прогноза относительно цены базового инструмента. Мы увидели, что можно учесть ценовой прогноз, изменяя каждый день значение базового инструмента в уравнениях (5.17, а) и (5.17, б). Даже слабый тренд значительно меняет функцию ожидания. Оптимальная дата выхода может не быть теперь рыночным днем сразу после дня входа, более того, оптимальная дата выхода может стать датой истечения срока. В таком случае опцион будет иметь положительное математическое ожидание, даже если его держать до даты истечения. При небольшом тренде цены базового инструмента значительно изменятся не только функция ожидания, но и оптимальные f, АН PR и GHPR.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Пусть цена исполнения колл-опциона равна 100 и он истекает 911120, а цена базового инструмента равна также 100. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы будем использовать формулу товарных опционов Блэка (Н находим из уравнения (5.7), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Для 8 стандартных отклонений рассчитаем оптимальные f (чтобы соответствовать прошлым таблицам, которые не учитывают тренд по базовому инструменту) и используем минимальное приращение тика 0,1. В данном случае мы будем учитывать тренд, при котором цена базового инструмента растет на 0,01 пункта (на одну десятую тика) в день.

Дата выхода

AHPR

GHPR

f

Вторник

911105

1,000744

1,000357

0,1081663

Среда

911106

1,000149

1,000077

0,0377557

Четверг

911107

1,000003

1,000003

0,0040674

Пятница

911108

<1

<1

0

Отметьте, как небольшой тренд (0,01 пункта в день) меняет результаты. Наша оптимальная дата выхода остается 911105, но оптимальное f = 0,1081663, что соответствует 1 контракту на каждые 2645 долл, на балансе счета (2,861 * * 100 / 0,1081663). Кроме того, для этого опциона ожидание положительно все время до 911107. Если тренд будет сильнее, результаты изменятся еще больше.

Последнее, что необходимо учесть, — это размер комиссионных. Цена опциона из уравнения (5.14) (значение переменной Z(T, U — Y)) должна быть уменьшена на размер комиссионных (если с вас берут комиссионные и при открытии позиции, то вы должны увеличить значение переменной S из уравнения (5.14) на размер комиссионных).

Мы рассмотрели поиск оптимального f и его побочных продуктов, когда механическая система не используется. Теперь перейдем к изучению одновременной торговли по нескольким позициям.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>