Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», относящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истечения, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание возможного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения

(1.3):

где р. — вероятность выигрыша или проигрыша попытки i; а. — выигранная или проигранная сумма попытки i;

N — количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигрыша. Когда сумма вероятностей р. больше 1, уравнение (1.3) необходимо разделить на сумму вероятностей р_.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание:

где С — справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или арифметическое математическое ожидание;

р. — вероятность цены i по истечении срока опциона;

а, — внутренняя стоимость опциона (для колл-опциона: рыночная цена инструмента минус цена исполнения опциона; для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе до тех пор, пока вероятность i-й цены (т. е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне достаточно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в знаменателе, пока вероятность i-й цены (т. е. р.) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, иными словами, если вероятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1.

Интересно отметить, что значения вероятности р. можно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно необязательно должно быть нормальным, т. е. пользователь может получить теоретически справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возможность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распределение Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое распределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при определении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифметическое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следующую величину:

где С — справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожидания при данном значении Т;

pj — вероятность цены i по истечении срока опциона;

а. — внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инструменту при цене i;

R — текущая безрисковая ставка;

Т — доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распределений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения[1]. Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими.

Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.4) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную текущую цену.

Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнаружили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изменений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределение Стьюдента[2]. Для определения оптимального числа степеней свободы распределения Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5.

Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дня (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День благодарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполагаемому товару равен 0,10.

Используя уравнения (5.1), (5.2) и (5.7) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедливыми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая допускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем использовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения р.. Их можно получить из фрагмента программы, написанной на языке бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т. е. переменную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по следующей формуле:

где i — цена, соответствующая текущему состоянию процесса суммирования;

V — годовая волатильность, выраженная стандартным отклонением;

Т — доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью;

1п() — функция натурального логарифма.

Уравнение (5.12), написанное на языке бейсик, будет выглядеть следующим образом:

Переменная U представляет собой текущую цену базового инструмента (с учетом дивидендов, если это необходимо).

Вероятность для распределения Стьюдента, найденная с помощью программы из приложения В, является 2-хвостой. Нам надо сделать ее 1-хвостой и выразить как вероятность отклонения от текущей цены (т. е. ограничить ее 0 и 0,5). Это можно сделать с помощью двух строк на бейсике:

Таким образом, для 5 степеней свободы справедливая цена колл-опциона равна 3,842, а справедливая цена пут-опциона равна 2,562. Эти величины отличаются от значений, полученных с помощью более традиционных моделей. Причин здесь несколько.

Во-первых, более толстые хвосты распределения Стьюдента с 5 степенями свободы дадут более высокую справедливую стоимость колл-опциона. Вообще, чем толще хвосты распределения, тем больше получается цена колл-опциона. Если бы мы использовали 4 степени свободы, то получили бы еще большую цену колл-опциона.

Во-вторых, стоимость пут-опциона и стоимость колл-опциона значительно различаются, в то время как в традиционных моделях стоимость пут-опциона и колл-опциона эквивалентна. Этот момент требует некоторого пояснения.

Справедливую стоимость пут-опциона можно найти из цены колл-опциона с той же ценой исполнения и датой истечения (или наоборот) по формуле пут-колл- паритета:

где Р — справедливая цена пут-опциона;

С — справедливая цена колл-опциона;

Е — цена исполнения;

U — текущая цена базового инструмента;

R — безрисковая ставка;

Т — доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью.

Когда равенство (5.13) не выполняется, появляется возможность арбитража. Из (5.13) мы видим, что цены, полученные из традиционных моделей, эквивалентны, когда Е — U = 0.

Давайте заменим переменную U в уравнении (5.13) ожидаемой ценой базового инструмента на дату истечения срока опциона. Ожидаемая стоимость базового инструмента может быть определена с помощью уравнения (5.10) с учетом того, что в этом случае а. просто равно i. В нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467. Это происходит потому, что минимальная цена инструмента равна 0, в то время как ограничения цены сверху не существует. Движение цены со 100 до 50 так же вероятно, как и движение со 100 до 200. Следовательно, стоимость колл-опционов будет выше, чем стоимость пут-опционов. Неудивительно, что ожидаемая стоимость базового инструмента на дату истечения должна быть больше, чем его текущая цена, — это вполне согласуется с предположением об инфляции. Когда в уравнении (5.13) мы заменим значение U (текущую цену базового инструмента) на значение ожидаемой стоимости на дату истечения, мы сможем рассчитать справедливую стоимость пут-опциона:

Это значение согласуется со стоимостью пут-опциона, полученной из уравнения (5.11).

Остается одна проблема: если пут-опционы и колл-опционы с одной ценой исполнения и сроком истечения оценены согласно уравнению (5.11), тогда существует возможность арбитража. На самом деле U в уравнении (5.13) является текущей ценой базового инструмента, а не ожидаемым значением базового инструмента на дату истечения. Другими словами, если текущая цена равна 100 и декабрьский колл-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 3,842, а пут-опцион с ценой исполнения, равной 100, стоит 2,561656269, то исходя из уравнения (5.13) существует возможность арбитража.

Отсутствие пут-колл-паритета при наличии наших заново полученных цен опционов предполагает, что вместо покупки колл-опциона за 3,842 нам следует открыть эквивалентную позицию, купив пут-опцион за 2,562 и базовый инструмент.

Проблема решится, если мы сначала рассчитаем ожидаемую стоимость базового инструмента по уравнению (5.10) с учетом того, что а. просто равно i

(в нашем примере с DEGFDM = 5 ожидаемая стоимость базового инструмента равна 101,288467), а затем вычтем текущую цену базового инструмента из полученного значения: 101,288467 — 100 = 1,288467. Теперь, если мы вычтем это значение из каждого значения а., т.е. внутренней стоимости из уравнения (5.11), и примем любые получившиеся значения менее 0 равными 0, тогда уравнение (5.11) даст нам теоретические значения, которые согласуются с уравнением (5.13). Таким образом, арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту заменит текущую цену базового инструмента. В нашем примере (распределение Стьюдента с 5 степенями свободы) мы получим стоимость пут-опциона и колл- опциона с ценой исполнения 100, равную 3,218. Таким образом, наш ответ согласуется с уравнением (5.13), и возможность арбитража между этими двумя опционами и их базовыми инструментами отсутствует.

Когда мы используем распределение, которое основано на значениях арифметического математического ожидания базового инструмента на дату истечения и значение этого ожидания отличается от текущей стоимости базового инструмента, мы должны вычесть разность (ожидание — текущая стоимость) из внутренней стоимости опциона и приравнять к нулю значения меньше нуля. Таким образом, для любой формы распределения уравнение (5.11) дает нам арифметическое математическое ожидание опциона на дату истечения при условии, что арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту равно его текущей цене (т.е. направленное движение цены базового инструмента не предполагается).

  • [1] Уравнение (5.11) не учитывает разницу между фондовыми и товарными опционами. Согласно общепринятому подходу, в цену фондового опциона включается доход по простойбескупонной облигации, которая будет погашена в момент истечения срока опциона иноминал которой равен цене исполнения. Опционы на товарные фьючерсы, как считается, имеют процентную ставку 0. Мы же не учитываем это обстоятельство. Если ценнаябумага и товар имеют абсолютно одинаковое распределение ожидаемых результатов,т. е. их арифметические математические ожидания равны, то разумный инвестор выберетболее дешевый инструмент. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует пример, когда вы рассматриваете покупку одного из двух одинаковых домов и один из них оценен вышетолько потому, что продавец платил более высокую процентную ставку по ипотечномукредиту.
  • [2] Распределение Стьюдента далеко не лучшая модель, описывающая распределение изменений цены. Однако, так как единственным параметром, кроме волатильности (годовогостандартного отклонения), который необходимо рассматривать при использовании распределения Стьюдента, является число степеней свободы, а ассоциированные вероятности легко находятся (см. приложение В), мы для наглядности будем использоватьраспределение Стьюдента.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>