Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Алгоритм расчета

Алгоритм будет продемонстрирован на торговом примере, уже рассмотренном в этой главе. Так как наши 232 сделки выражены в пунктах, нам следует преобразовать их в соответствующие долларовые значения. Какой именно рынок рассматривается, нам неизвестно, поэтому зададим произвольное значение в 1000 долл, за пункт. Таким образом, средняя сделка 0,330129 преобразуется в 0,330129 * 1000 долл., или в 330,13 долл. Стандартное отклонение 1,743232, умноженное на 1000 долл, за пункт, станет равно 1743,23 долл.

Теперь построим матрицу. Сначала мы должны определить диапазон (количество сигма от среднего), в который попадают данные. В нашем примере выберем 3 сигма, что означает диапазон от —3 до +3 сигма. Отметьте, что следует использовать одинаковое количество сигма слева и справа от среднего.

Далее следует определиться с тем, на сколько равноотстоящих точек данных разделить полученный интервал. Выбрав 61, мы получим точку данных на каждой десятой части стандартной единицы. Таким образом, мы зададим столбец стандартных значений.

Теперь мы должны определить среднее арифметическое, которое будем использовать в качестве вводного данного. Мы определим его эмпирически из 232 сделок, в нашем случае оно равно 330,13 долл. Далее найдем стандартное отклонение, которое также определим эмпирически из 232 сделок: оно будет равно 1743,23 долл.

Теперь рассчитаем столбец ассоциированных P&L, т.е. определим P&L для каждого стандартного значения. Но, до того как определять столбец ассоциированных P&L, мы должны задать значения для растяжения и сжатия. Так как сейчас мы не собираемся рассматривать сценарии «что если», то возьмем единицу как для растяжения, так и для сжатия.

Среднее арифметическое = 330,13,

Стандартное отклонение = 1743,23,

Растяжение= 1,

Сжатие=1.

С помощью уравнения (3.28) можно рассчитать столбец ассоциированных P&L. Для этого возьмем каждое стандартное значение и подставим в уравнение (3.28):

где D — значение цены, соответствующее значению стандартной единицы;

Е — значение стандартной единицы;

S — стандартное отклонение;

U — среднее арифметическое.

При стандартном значении —3 ассоциированное P&L составляет:

Таким образом, при стандартном значении —3 ассоциированное P&L = —4899,567. Теперь нам надо определить ассоциированное P&L для следующего стандартного значения, которое составляет —2,9, для чего решим то же уравнение (3.29), только на этот раз возьмем Е = —2,9. Теперь определим столбец ассоциированной вероятности. Ее можно рассчитать, используя стандартное значение в качестве вводного данного для Z в уравнении (3.21) без оговорки «если Z < О, тогда N(Z) = 1 — N(Z)». При стандартном значении —3 (Z = —3) получаем:

если Z < 0, тогда N(Z) = 1 - N(Z),

где Y = 1 / (1 + 0,2316419 * ABS(Z));

ABS() — функция абсолютного значения;

ЕХР() — экспоненциальная функция.

Таким образом:

Отметьте, если Z имеет отрицательное значение (Z = —3), нам не надо менять N(Z) на N(Z) = 1 — N(Z).

Теперь для каждого значения в столбце стандартных значений будут соответствующие значения в столбце ассоциированных P&L и в столбце ассоциированной вероятности. Это показано в следующей таблице. После того как вы заполните эти три столбца, можно начать поиск оптимального f и его побочных продуктов.

Стандартное

значение

Ассоциированные

P&L

Ассоциированная

вероятность

Ассоциированное значение HPR при f= 0,01

-3,0

($4899,57)

0,001350

0,9999864325

-2,9

($4725,24)

0,001866

0,9999819179

-2,8

($4550,92)

0,002555

0,9999761557

-2,7

($4376,60)

0,003467

0,9999688918

-2,6

($4202,27)

0,004661

0,9999598499

-2,5

($4027,95)

0,006210

0,9999487404

-2,4

($3853,63)

0,008198

0,9999352717

-2,3

($3679,30)

0,010724

0,9999191675

-2,2

($3504,98)

0,013903

0,9999001875

Продолжение

Стандартное

значение

Ассоциированные

P&L

Ассоциированная

вероятность

Ассоциированное значение HPR при f= 0,01

-2,1

($3330,66)

0,017864

0,9998781535

-2,0

($3156,33)

0,022750

0,9998529794

-1,9

($2982,01)

0,028716

0,9998247051

-1,8

($2807,69)

0,035930

0,9997935316

-1,7

($2633,37)

0,044565

0,9997598578

-1,6

($2459,04)

0,054799

0,9997243139

-1,5

($2284,72)

0,066807

0,9996877915

-1,4

($2110,40)

0,080757

0,9996514657

-1,3

($1936,07)

0,096800

0,9996168071

-1,2

($1761,75)

0,115070

0,9995855817

-1,1

($1587,43)

0,135666

0,999559835

-1,0

($1413,10)

0,158655

0,9995418607

-0,9

($1238,78)

0,184060

0,9995341524

-0,8

($1064,46)

0,211855

0,9995393392

-0,7

($890,13)

0,241963

0,999560108

-0,6

($715,81)

0,274253

0,9995991135

-0,5

($541,49)

0,308537

0,9996588827

-0,4

($367,16)

0,344578

0,9997417168

-о,з

($192,84)

0,382088

0,9998495968

-0,2

($18,52)

0,420740

0,9999840984

-0,1

$155,81

0,460172

1,0001463216

0,0

$330,13

0,500000

1,0003368389

0,1

$504,45

0,460172

1,0004736542

0,2

$678,78

0,420740

1,00058265

0,3

$853,10

0,382088

1,0006649234

0,4

$1027,42

0,344578

1,0007220715

0,5

$1201,75

0,308537

1,0007561259

Продолжение

Стандартное

значение

Ассоциированные

P&L

Ассоциированная

вероятность

Ассоциированное значение HPR при f= 0,01

0,6

$1376,07

0,274253

1,0007694689

0,7

$1550,39

0,241963

1,0007647383

0,8

$1724,71

0,211855

1,0007447264

0,9

$1899,04

0,184060

1,0007122776

1,0

$2073,36

0,158655

1,0006701921

1,1

$2247,68

0,135666

1,0006211392

1,2

$2422,01

0,115070

1,0005675842

1,3

$2596,33

0,096800

1,0005117319

1,4

$2770,65

0,080757

1,0004554875

1,5

$2944,98

0,066807

1,0004004351

1,6

$3119,30

0,054799

1,0003478328

1,7

$3293,62

0,044565

1,0002986228

1,8

$3467,95

0,035930

1,0002534528

1,9

$3642,27

0,028716

1,0002127072

2,0

$3816,59

0,022750

1,0001765438

2,1

$3990,92

0,017864

1,000144934

2,2

$4165,24

0,013903

1,0001177033

2,3

$4339,56

0,010724

1,0000945697

2,4

$4513,89

0,008198

1,0000751794

2,5

$4688,21

0,006210

1,0000591373

2,6

$4862,53

0,004661

1,0000460328

2,7

$5036,86

0,003467

1,0000354603

2,8

$5211,18

0,002555

1,0000270338

2,9

$5385,50

0,001866

1,0000203976

3,0

$5559,83

0,001350

1,0000152327

Окончание

Побочные продукты при f = 0,01:

TWR= 1,0053555695;

Сумма вероятностей = 7,9791232176; Среднее геометрическое = 1,0006696309; GAT = 328,09 долл.

Оптимальное f надо искать следующим образом. Сначала вы должны определиться с методом поиска f. Можно просто перебрать числа от 0 до 1 с определенным шагом (например, 0,01), используя итерационный метод, или применить метод параболической интерполяции, описанный в книге «Формулы управления портфелем».

Вам следует определить, какое значение f (между 0 и 1) позволит получить наибольшее среднее геометрическое. После того как вы определитесь с методом поиска, следует найти ассоциированное P&L наихудшего случая. В нашем примере это значение P&L, соответствующее —3 стандартным единицам, т.е. -4899,57.

Для того чтобы найти средние геометрические для значений f, которые вы будете перебирать в поиске оптимального 1, нужно преобразовать каждое значение ассоциированных P&L и вероятность в HPR. Уравнение (3.30) позволяет рассчитать HPR:

где L — ассоциированное значение P&L;

W — ассоциированное значение P&L наихудшего случая (это всегда отрицательное значение);

f — тестируемое значение f;

Р — ассоциированная вероятность.

Для f = 0,01 найдем ассоциированное HPR при стандартном значении —3. Ассоциированное P&L наихудшего случая составляет —4899,57. Поэтому HPR равно:

После того как мы найдем ассоциированные HPR для тестируемого f (0,01 в нашем примере), можно рассчитать TWR. TWR — это произведение всех HPR для данного значения f:

где N — общее число равноотстоящих точек данных;

HPR = HPR из уравнения (3.30), соответствующее точке данных i.

Поэтому для нашего тестируемого значения f = 0,01 TWR равно:

Мы можем легко преобразовать TWR в среднее геометрическое, возведя TWR в степень, равную единице, поделенной на сумму всех ассоциированных вероятностей:

где N — число равноотстоящих точек данных;

Р. — ассоциированная вероятность точки данных i.

Если мы просуммируем значения столбца, который включает 61 ассоциированную вероятность, получим 7,979105. Поэтому среднее геометрическое при f = 0,01 равно:

Мы можем также рассчитать среднюю геометрическую сделку (GAT). Это сумма, которую вы заработали бы в среднем на контракт за сделку, если бы торговали при этом распределении результатов и при данном значении f:

где G(f) — среднее геометрическое для данного значения f;

W — ассоциированное P&L наихудшего случая.

Таким образом, в среднем на контракт можно ожидать выигрыша в 328,09 долл. Теперь перейдем к следующему значению f, которое должно тестироваться в соответствии с выбранной процедурой поиска оптимального f. В нашем случае мы проверяем значения f от 0 до 1 с шагом 0,01, так что следующим тестируемым значением f будет 0,02. Рассчитаем новый столбец ассоциированных HPR, а также найдем TWR и среднее геометрическое. Значение f, которое в результате даст наивысшее среднее геометрическое, является оптимальным (для вводных параметров, которые мы использовали). Если бы для данного примера мы продолжили поиск оптимального f, то получили бы f = 0,744 (при расчете оптимального f используется шаг 0,001). Среднее геометрическое в этом случае равно 1,0265. Соответствующая средняя геометрическая сделка составит 174,45 долл.

Следует отметить, что само по себе значение TWR не столь важно. Когда мы рассчитываем среднее геометрическое параметрически, как в этом примере, TWR просто является промежуточным шагом для получения этого среднего геометрического. Теперь мы можем рассчитать, каким было бы наше TWR после X сделок, возведя среднее геометрическое в степень X. Поэтому если мы хотим рассчитать TWR для 232 сделок при среднем геометрическом 1,0265, то следует возвести 1,0265 в степень 232, что даст 431,79. В таком случае при торговле с оптимальным f = 0,744 можно ожидать прибыль 43 079% ((431,79 — 1) * 100) после 232 сделок.

Еще одним побочным продуктом, который мы рассчитаем, будет порог геометрической торговли (2.2):

Отметьте, что значение средней арифметической сделки 330,13 долл, не является результатом, полученным с помощью этого метода, а используется как один из вводных параметров.

Мы можем преобразовать оптимальное f в количество контрактов для торговли с помощью уравнения:

где К — число контрактов для торговли;

Е — текущий баланс счета.

Причем

где W — ассоциированное P&L наихудшего случая.

Отметьте, что переменная Q представляет собой число, на которое вы должны разделить баланс счета, чтобы узнать, каким количеством контрактов торговать, при этом баланс должен ежедневно корректироваться.

Возвращаясь к нашему примеру:

Следовательно, мы будем торговать 1 контрактом на каждые 6585,44 долл, на балансе счета. Для счета размером 25 000 долл, это означает, что мы будем торговать:

Так как мы не можем торговать дробными контрактами, то должны округлить это число 3,796253553 вниз до ближайшего целого числа. Поэтому для счета 25 000 долл, мы будем торговать 3 контрактами. Причина, по которой мы всегда будем округлять вниз, а не вверх, состоит в том, что плата за нахождение ниже оптимального f меньше, чем плата за нахождение выше.

Отметьте, насколько чувствительна торговля оптимальным числом контрактов к наихудшему убытку. Наихудший убыток зависит только от того, на сколько стандартных отклонений вы отходите влево от среднего. Данный ограничительный параметр — интервал, выраженный в количестве стандартных отклонений, — очень важен. В нашем расчете мы выбрали 3 сигма. Это означает, что мы допускаем проигрыш в 3 сигма. Однако проигрыш за пределами 3 сигма может сильно нам повредить, если он выйдет слишком далеко за это значение. Поэтому вам следует быть очень осторожными с выбором этого ограничительного параметра. От величины интервала зависит очень многое.

Заметьте, что для простоты изложения мы не учитывали комиссионные и проскальзывание. Если учитывать комиссионные и проскальзывание, то следует вычесть X долл, комиссионных и проскальзывания из каждой сделки в самом начале. Затем следует рассчитать среднюю арифметическую сделку и стандартное отклонение на основе 232 измененных сделок и далее выполнить уже известную процедуру.

Теперь рассмотрим сценарий «что если». Допустим, мы хотим посмотреть, что произойдет, если прибыль в средней сделке уменьшится вдвое (сжатие = 0,5). Далее предположим, что рынок становится очень волатильным и дисперсия увеличивается на 60% (растяжение = 1,6). Подставляя эти параметры в систему, мы можем посмотреть, как они влияют на оптимальное f, и скорректировать нашу торговлю до того, как эти изменения произойдут на самом деле. Таким образом, оптимальное f будет равно 0,262, что соответствует торговле 1 контрактом на каждые 31 305,92 долл, на балансе счета (так как P&L наихудшего случая сильно зависит от растяжения и сжатия). Среднее геометрическое упадет до 1,0027, средняя геометрическая сделка уменьшится до 83,02 долл., a TWR за 232 сделки будет равно 1,869. Такие изменения вызваны уменьшением средней сделки на 50% и увеличением стандартного отклонения на 60%, что вполне может произойти на практике. Также возможно, что будущее будет более благоприятно, чем прошлое. Мы можем проанализировать другую ситуацию. Допустим, мы хотим посмотреть, что произойдет, если наша средняя прибыль увеличится на 10%. Для этого следует ввести значение сжатия 1,1. Параметры «что если» — растяжение и сжатие — крайне важны в управлении капиталом.

Чем ближе ваше распределение торговых P&L к нормальному, тем лучше будет работать метод. Проблема почти всех методов управления деньгами состоит в том, что следует учитывать определенный «коэффициент ухудшения». Здесь ухудшение — это разница между нормальным распределением и распределением, которое вы реально получаете. Разница между ними и есть коэффициент ухудшения, и чем больше этот коэффициент, тем менее эффективным становится метод.

С помощью вышеописанного метода мы определили, что торговля 1 контрактом на каждые 6585,44 долл, на балансе счета оптимальна. Однако если бы мы совершили эти сделки на практике и определили оптимальное f эмпирически, то оптимальным был бы 1 контракт на каждые 7918,04 долл, на балансе счета. Как можно видеть, использование нормального распределения сместило нас слегка вправо вдоль кривой f и привело к торговле несколько большим числом контрактов, чем предлагает эмпирический метод.

Однако, как мы увидим позже, многое говорит в пользу того, что будущее распределение цен будет нормальным. Когда мы покупаем или продаем опцион, предположение, что будущее распределение изменений цены базового инструмента будет нормальным, уже заложено в цену опциона. Точно так же можно сказать, что трейдеры, не использующие механические системы, получат в будущем результаты, которые нормально распределены.

В методе, описанном в этой главе, используются неприведенные данные. При использовании приведенных данных метод будет выглядеть следующим образом:

  • 1. До того как данные нормированы, их следует привести к текущим ценам путем преобразования всех торговых прибылей и убытков в процентные прибыли и убытки с помощью уравнений (2.10, а)—(2.10, в). Затем эти процентные прибыли и убытки следует умножить на текущую цену.
  • 2. Когда вы перейдете к нормированию этих данных, нормируйте приведенные данные, используя среднее и стандартное отклонения приведенных данных.
  • 3. Далее определите оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Средняя геометрическая сделка, средняя арифметическая сделка и порог геометрической торговли справедливы только для текущей цены базового инструмента. Когда цена базового инструмента изменяется, процедура должна быть проведена заново. Когда вы перейдете к повторному проведению процедуры с другой ценой базового инструмента, вы получите то же оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Однако средняя арифметическая сделка, средняя геометрическая сделка и порог геометрической торговли будут другими, что зависит от новой цены базового инструмента.
  • 4. Количество контрактов для торговли, рассчитываемое с помощью уравнения (3.34), соответствующим образом изменится. P&L наихудшего случая — переменная W, используемая в уравнении (3.35), — также изменится.

Из этой главы мы узнали, как найти оптимальное/по распределению вероятности. Мы использовали нормальное распределение, так как оно описывает многие естественно происходящие процессы. Кроме того, с ним легче работать, чем со многими другими распределениями, так как можно рассчитать интеграл функции нормального распределения с помощью уравнения (3.21)1. Однако нормальное распределение зачастую является неполной моделью для распределения торговых прибылей и убытков. Какая модель будет приемлемой для наших целей ? В следующей главе мы ответим на этот вопрос и будем полагаться на методы из главы 3 при работе с любым видом распределения вероятности независимо от того, существует интеграл функции распределения или нет.

Интеграл функции, описывающей нормальное распределение, в действительности нельзя точно рассчитать, но его можно получить с большой степенью точности с помощью уравнения (3.21), чего нельзя сказать о многих других распределениях.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>