Полная версия

Главная arrow Финансы arrow Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Формулы Келли

Начиная с конца 1940-х гг. инженеры компании Bell System работали над проблемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены неизбежному случайному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предложено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюдается явное сходство между проблемой передачи данных и проблемой геометрического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

или

где f — оптимальная фиксированная доля;

Р — вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q — вероятность проигрыша (1 — Р).

Обе формы уравнения (1.9) эквивалентны.

Уравнения (1.9, а) или (1.9, б) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковы по величине. В качестве примера рассмотрим следующий поток ставок:

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышные, отсюда:

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре 2:1, где все выигрыши — 2 единицы, а проигрыши — 1 единица. В этом случае формула Келли будет выглядеть следующим образом:

где f — оптимальная фиксированная доля;

Р — вероятность выигрышной ставки или сделки;

В — отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре 2:1:

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все выигрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда одинаковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распределение Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределению будет ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распределении Бернулли рассказано в приложении В.

Рассмотрим следующую последовательность ставок/сделок:

Так как это не распределение Бернулли (выигрыши и проигрыши различны), формула Келли не применима. Однако давайте все равно ее используем и посмотрим, что получится.

Так как 5 из 9 событий прибыльны, то Р = 0,555. Теперь давайте возьмем средние выигрыши и проигрыши и рассчитаем В (именно здесь многие трейдеры ошибаются). Средний выигрыш 9, а средний проигрыш 8, поэтому В = 1,125. Подставляя значения, получим:

Таким образом, f = 0,16. Мы увидим ниже, что это не оптимальное f. Оптимальное f для этой последовательности сделок составляет 0,24. Используя формулу, когда выигрыши не имеют одинакового размера и/или проигрыши не имеют одинакового размера, мы делаем ошибку, и формула не дает оптимального f.

Отметьте, что числитель в этой формуле равен математическому ожиданию события с двумя возможными результатами. Поэтому мы можем сказать, что, пока все выигрыши имеют одинаковый размер и все проигрыши имеют одинаковый размер (не важно, будет ли сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть), оптимальное f составляет:

где f — оптимальная фиксированная доля;

В — отношение суммы, выигранной по выигрышной ставке, к сумме, проигранной по проигрышной ставке.

Математическое ожидание определяется уравнением (1.3), но, так как мы имеем дело с распределением Бернулли, при использовании уравнения (1.10, б) должны убедиться, что у нас есть два возможных исхода.

Формулу (1.10, а) можно свести к следующей более простой формуле:

где f — оптимальная фиксированная доля;

Р — вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q — вероятность убытка (1 — Р).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>