Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Многомерный статистический анализ эколого-геохимических измерений. Ч.1. Математические основы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры законов распределения случайной величины

Рассмотрим некоторые важные для практики законы распределения случайных величин.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а е R и а > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

где параметры а - математическое ожидание (а = М[Х] ), а - среднее квадратичное отклонение X (а = +y]D[X]). В данном случае математическое ожидание а совпадает с медианой Ме=хтесt и модой Mo =xm0d.

Если случайная величина распределена по закону N(x;0;), то она называется стандартизированной нормальной величиной. Функция распреде-

V t2

2 х *

ления для неё имеет вид FAr(x;0;l)= ,— Г е 2dt. Графики плотности Дх)

и функции F(x) распределения стандартизированной нормальной величины изображены на рис. 1Л, а с параметрами а = 10 и <т= 5 - на рис. 1.4.

Графики f(x) и F(x) по закону N(x;10;5). Площадь затемненной области равна 0,5 =р = F(10; 10; 5)

Рис. 1.4. Графики f(x) и F(x) по закону N(x;10;5). Площадь затемненной области равна 0,5 =р = FN(10; 10; 5)

На рис. 1.5 изображены графики плотности Дх) нормального распределения при фиксированном а = 2 и разных а. С уменьшением а кривая Дх) сжимается, концентрируясь вокруг прямой х = 2.

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению

откуда, в частности, следует, что все центральные моменты нечетного

порядка равны нулю, так как jUj = 0 и, таким образом, А = —у = 0. С уче-

<7

том р4 = За2р2 = За4 имеем Е = 3 =0. В этом смысле кривая плот-

а ности нормального распределения является эталонной (А = О, Е = 0), с которой сравнивают fix) других распределений при одинаковых М(Х) и D(X). Причем, на фоне кривой плотности нормального распределения график плотности распределения fix) деформирован (асимметричен) влево, если А > 0, и вправо, если А < 0; остроконечен (вытянут вверх), если Е > 0, и тупоконечен, если Е < 0 (см. рис. 1.2, 1.3).

Графики плотности нормального распределения в зависимости от стандартного отклонения а

Рис. 1.5. Графики плотности нормального распределения в зависимости от стандартного отклонения а

Значения функции p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (рис. 1.6).

Нормальное распределение непрерывной случайной величины имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. Ему подчиняется случайная величина, представленная в виде суммы слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку их влияния на рассеивание суммы.

Непрерывная случайная величина X имеет логнормальное распределение LN(x;i;), если In X подчинен нормальному закону 7V(lnx;p;a), то есть если плотность распределения вероятностей имеет вид (см. рис. 1.7) Калькулятор нормального распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,75 —р = F(0,67449)

Рис. 1.6. Калькулятор нормального распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,75 —р = F(0,67449)

Графики f(x) и F(x) логнормального распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р = F(1; 0; 1)

Рис. 1.7. Графики f(x) и F(x) логнормального распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р = FLN(1; 0; 1)

Числовые характеристики логнормального распределения:

Значения функции логнормального распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.8).

Калькулятор логнормального распределения вероятности

Рис. 1.8. Калькулятор логнормального распределения вероятности.

Площадь затемненной области равна 0,5 =р =FLN(1; 0; 1).

Из определения логнормального распределения следует, что если случайная величина Y распределена нормально, то Х=/ распределена логнормально. Таким образом, логнормальному распределению подчиняется распределение случайной величины, представленной в виде произведения слабо зависимых случайных величин, сравнимых по порядку их влияния.

Непрерывная случайная величина X имеет х2 (хи-квадрат) распределение с т степенями свободы, если она представима в виде суммы квадратов т величин, распределённых по нормальному закону N(x, 0, 1), то есть если плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.9)

00 s

где Г(г) = je ltz ldt _ гамма функция: г( ^” + Ч = -^-(2л-1)!!>/^ о V 2 ) 2

и Г(я + 1) = и! для п = О,оо.

Числовые характеристики хи - квадрат распределение: Графики f(x) и F(x) хи-квадрат распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р =Fh(2,365974)

Рис. 1.9. Графики f(x) и F(x) хи-квадрат распределения. Площадь затемненной области равна 0,5 =р =FCh(2,365974).

График плотности хи-квадрат распределения асимметричен (скошен влево, так как А > 0), островершинен (Е > 0) и xmoci < т.

Зависимость графиков плотности хи-квадрат распределения от т представлена на рис. 1.10.

Значения функции хи-квадрат распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.11).

Непрерывная случайная величина X имеет t-распределение Стью- дента с т степенями свободы, если плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.12)

Зависимость графиков f(x) хи-квадрат распределения от т

Рис. 1.10. Зависимость графиков f(x) хи-квадрат распределения от т

Калькулятор хи-квадрат распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =р =Fh(2,365974)

Рис. 1.11. Калькулятор хи-квадрат распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =FCh(2,365974)

Числовые характеристики ^-распределения: Графики f(x) и F(x) закона t-распределения

Рис. 1.12. Графики f(x) и F(x) закона t-распределения

При больших степенях свободы (т > 30) ^-распределение практически совпадает с нормальным распределением jV(x;0;1) .

Значения функции ^-распределения p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.13).

Калькулятор t-распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=F (0; 3)

Рис. 1.13. Калькулятор t-распределения вероятности. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=Ft (0; 3)

Непрерывная случайная величина X имеет F-распределение Фишера, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид (рис. 1.14)

Графики f(x) и F(x) закона распределения Фишера. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=F(l, 10, 10)

Рис. 1.14. Графики f(x) и F(x) закона распределения Фишера. Площадь затемненной области равна 0,5 =p=FF(l, 10, 10)

Числовые характеристики F-распределения:

Значения функции распределения Фишера p=F(x) и обратной к ней можно вычислить с помощью калькулятора распределения вероятности (см. рис. 1.15).

Калькулятор F-распределения вероятности

Рис. 1.15. Калькулятор F-распределения вероятности.

Площадь затемненной области равна 0,5 =р =Ff(1)

Зависимость графиков плотности fF(x;v; со) F-распределения Фишера от параметров v и со представлена на рис. 1.16.

Графики f{xvco) плотности F-распределения Фишера в зависимости от v и со

Рис. 1.16. Графики fF{xvco) плотности F-распределения Фишера в зависимости от v и со

Если v = m и со = п - целые, то непрерывную случайную величину, имеющую F-распределение Фишера, можно представить в виде отношения двух случайных величин, распределённых по закону хи-квадрат со степенями свободы тип. При этом отношение случайных величин, делённых на соответствующую степень свободы, называется F-отно- шением, а соответствующее распределение - распределением F-omno- шения. Данное распределение играет фундаментальную роль в математической статистике и интерпретируется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий - распределение дисперсионного отношения. На данной статистике основан F-критерий, используемый, в частности, для проверки гипотезы равенства дисперсий двух совокупностей в дисперсионном анализе, регрессионном анализе, многомерном статистическом анализе.

Универсальность F-распределения Фишера подчеркивается связями с другими распределениями. При т = 1 квадрат F-отношения имеет распределение Стьюдента с п степенями свободы. Существуют различные аппроксимации F-распределения Фишера с помощью нормального распределения и хи-квадрат распределения.

Введение в дисперсионный анализ F-распределения связано с именем Р. Фишера, хотя сам он использовал для дисперсионного отношения величину z = ^ F. Распределение z было табулировано Р. Фишером, F-распределение - Дж. Снедекором.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>