Полная версия

Главная arrow Статистика arrow Многомерный статистический анализ эколого-геохимических измерений. Ч.1. Математические основы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основные характеристики случайной величины

Свойства случайной величины могут характеризоваться различными параметрами. Важнейшие из них - математическое ожидание случайной величины, которое обозначается через М[Х, и дисперсия D[X = J[X, корень квадратный из которой о[Х называют среднеквадратическим отклонением или стандартом.

Математическим ожиданием М[Х] (<средним по распределению) дискретной (прерывной) случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности:

к

Учитывая предыдущие записи и =1, иногда пишут

1=1

Эта запись позволяет дать механическую интерпретацию математического ожидания. М[Х - абсцисса центра тяжести системы точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы, помещенные в эти точки, равны соответствующим вероятностям.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется интеграл

причём предполагается, что интеграл сходится абсолютно; здесь fix) - плотность вероятности распределения случайной величины X.

Математическое ожидание М[Х можно понимать как «теоретическое среднее значение случайной величины».

Рассмотрим свойства математического ожидания:

  • 1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
  • 2. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
  • 3. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т. е.

4. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т. е.

5. Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин, т. е.

6. Математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную С равно произведению математического ожидания случайной величины и постоянной С

Наряду с математическим ожиданием используют и другие числовые характеристики: медиана (xmed или Me) делит распределение X на две равные части и определяется из условия F(jemed) = 0,5; мода (jtmod или

Mo) - это максимально часто встречающееся значение X и для непрерывно распределенной случайной величины равна абсциссе точки максимума/^).

В симметричных распределениях все три числовые характеристики (математическое ожидание, медиана и мода) совпадают.

При наличии нескольких мод распределение называют мультимодальным.

Если математическое ожидание случайной величины дает нам «её среднее значение» или точку на координатной прямой, «вокруг которой разбросаны» значения рассматриваемой случайной величины, то дисперсия характеризует «степень разброса» значений случайной величины около её среднего.

Дисперсией D[X случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от её математического ожидания, т. е.

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Для дискретной случайной величины X формула дает

Для непрерывной случайной величины X

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Рассмотрим свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией:

Положительный корень из дисперсии называется среднеквадратичным (стандартным) отклонением и обозначается g = +^D[X]. Стандартное отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Случайная величина называется центрированной, если

М[Х] = 0, и стандартизированной, если М[Х] = 0 и G = 1.

В общем случае свойства случайной величины могут характеризоваться различными начальными и центральными моментами.

Начальным моментом К-го порядка называется число ак, определяемое формулой

где М[ХК ] - математическое ожидание К-й степени случайной величины Хк (соответственно, для случайных величин дискретного и непрерывного типа).

Центральным моментом К-го порядка называется число рк, определяемое формулой

Из определений моментов, в частности, следует

Часто пользуются производными характеристиками от начальных и центральных моментов:

Коэффициентом вариации называется величина

Коэффициент вариации - величина безразмерная, применяемая для сравнения степеней изменчивости случайных величин с разными единицами измерения.

Коэффициентом асимметрии (или скошенности) распределения называется величина

Коэффициент асимметрии характеризует степень асимметрии распределения случайной величины относительно её математического ожидания. Для симметричных распределений Л = 0. Если пик графика функции fx) смещён в сторону малых значений («хвост» на графике функцииДл;) справа), то А > 0. В противном случае А < 0 (см. рис. 1.2).

Графики плотности вероятности f(х) в зависимости от коэффициента асимметрии А

Рис. 1.2. Графики плотности вероятности f(х) в зависимости от коэффициента асимметрии А

Коэффициентом эксцесса (или островершинности) распределения называется величина

Коэффициент эксцесса является мерой остроты графика функции плотности распределения fx) (см. рис. 1.3).

Квантилъю порядка р распределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число tp, удовлетворяющее уравнению Графики плотности вероятности симметричной f(x) в зависимости от коэффициента эксцесса Е

Рис. 1.3. Графики плотности вероятности симметричной f(x) в зависимости от коэффициента эксцесса Е

Значения г0 75 и t0 25 называются соответственно верхней и нижней квартилями. Квартальный размах, равный разности верхней и нижней квартилей, представляет собой интервал вокруг медианы, который содержит 50 % значений X.

Критической точкой порядка р распределения случайной величины X непрерывного типа называется действительное число кр, удовлетворяющее уравнению

Квантиль и критическая точка одного и того же распределения связаны соотношением кр = tx_p.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>