Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Курс лекций по физике. Электростатика. Постоянный ток. Электромагнетизм. Колебания и волны

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры расчета потенциала

Потенциал равномерно заряженной сферы.

Напряженность поля вне сферы (приг>Я, где R - радиус сферы) совпадает с напряженностью поля точечного заряда (табл. 2).

Поэтому на расстояниях г > R потенциал сферы определяется выражением (1.3.21), как и потенциал поля точечного заряда. Внутри сферы, т. е. при r, поле отсутствует, и следовательно, согласно (1.3.26), Дср = 0 и ср = const.

Потенциал как энергетическая характеристика поля не может меняться скачком, то есть потенциал есть непрерывная функция, поэтому внутри сферы он равен тому значению, которое имеет потенциал на ее поверхности. Получаем

Потенциал шара, равномерно заряженного по объему.

Допустим имеем шар радиусом R и ему сообщен заряд q , равномерно распределенный по объему с объемной плотностью р = const.

В разделе (1.2.3) было получено (табл. 2):

(Напряженность поля вне шара совпадает с напряженностью поля точечного заряда.)

Вектор напряженности Е направлен вдоль радиальных прямых:

Потенциал поля вне шара совпадает с потенциалом поля точечного заряда.

Для потенциала внутри шара, используя соотношение - = -Е

d г

и выражение для проекции вектора напряженности поля внутри шара

27 Чг

на направление радиуса-вектора Е = —?—-, запишем:

4kSqR

отсюда

Для того чтобы при г —> R значение потенциала совпадало с выражением ср = —-—, постоянная интегрирования в (1.3.32) должна быть 4тis0R

За

равна: const = —-—.

RtzEqR

Таким образом, имеем:

В табл. 3 представлены выражения для расчёта потенциала (р электростатического поля, созданного заряженными телами различной конфигурации (распределёнными зарядами), а также графические зависимости потенциала от координат.

Для заданных в таблице моделей симметричного распределения зарядов приведённые формулы можно получить, используя ранее полученные выражения для напряжённости поля заданной системы зарядов (табл. 2) и соотношение, связывающее потенциал и напряжённость поля (Ё = -gradcp). Условия, определяющие ф0 = 0, вводятся дополнительно.

Таблица 3

Модели

распределения

заряда

Формулы для расчёта потенциала

Графики зависимости потенциала от координат

Точечный заряд

^ 4л;г0г

Бесконечная равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда а

Ф = -^-Ы + ср(0),

2е„

где <р(0) - произвольная постоян- ная (потенциал плоскости)

Шар, равномерно заряженный по объёму (радиус шара R, заряд шара q)

/ о 2 >

Ф = —-----г~— при г < R;

4jts0^2 2

ф = —-—, при г > R 47Г?0Г

  • (ф„ = —---потенциал заря-
  • 4718 0R

женного шара на его поверхности)

Сфера, заряженная равномерно с поверхностной плотностью а (радиус сферы Я, заряд сферы q)

q ___ту / ч

ф = при г>i? (ф --);

4л?0Г 8 „Г

Ф= . q Dпри r(Ф = —)

0R 80

Модели

распределения

заряда

Формулы для расчёта потенциала

Графики зависимости потенциала от координат

Бесконечно длинный тонкий цилиндр (нить), заряженный равномерно с линейной плотностью т

<Р = ~А~1п(4) при r>R;

2пг0 R

Ф = фо = const при г < R (внутри цилиндра);

(значение ф0 задается), полагаем ф0 = 0

Равномерно заряженный диск с поверхностной плотностью а

(радиус диска R, z - координата точки А относительно центра диска)

ф a=^-('Ir2+z2-И);

0

cR

%=^'

При z » R

oR2 q 4s0|z| 4tcs0|z|

Система двух бесконечно длинных равномерно разноименно заряженных плоскостей (поверхностная плотность заряда а)

Ф = ——— |x| - ——-lx - d + const. 2e0' 1 280' 1

Условие ф(х = 0) = 0 выполнясь j

ется при значении const = —а

  • 2s0
  • 0, х<0

Ф = < —х, 08о

—d, x>d

Л

Модели

распределения

заряда

Формулы для расчёта потенциала

Графики зависимости потенциала от координат

Равномерно заряженная цилиндрическая область с постоянной объемной плотностью заряда р (т - линейная плотность заряда, R - радиус основания цилиндра)

фН

Т V

  • --In—ь фп,г > R
  • 2тсв0 R 0
  • 0 - потенциал поверхности цилиндра).

Принимаем ср0 = 0

Бесконечная плоскопараллельная пластина толщиной d, равномерно заряженная по объему

а 2 d

  • 0 А* + „ ) + Фо:
  • 2 s0d 4

при--< x < —

ox2

_2s^ + <*><X~~2

ox d +T— + Фо>

{ 2eo 2

(0 - потенциал поля на поверхности пластины)

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>