Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Моделирование экономических процессов по схеме марковских случайных процессов

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями

Многие операции, которые приходится анализировать при выборе оптимального решения, развиваются как случайные процессы, зависящие от ряда случайных факторов.

Для того чтобы рассчитать числовые параметры, характеризующие эффективность таких операций, нужно построить вероятностную модель явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы.

Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов.

Поясним понятие марковского случайного процесса.

Пусть имеется некоторая система S, состояние которой меняется с течением времени (под системой S может пониматься все что угодно: промышленное предприятие, техническое устройство, ремонтная мастерская и т. д.). Если состояние системы S меняется во времени случайным, заранее непредсказуемым образом, говорят, что в системе S протекает случайный процесс.

Примеры случайных процессов:

флуктуации цен на фондовом рынке;

обслуживание клиентов в парикмахерской или ремонтной мастерской;

выполнение плана снабжения группы предприятий и т. д.

Конкретное протекание каждого из этих процессов зависит от ряда случайных, заранее непредсказуемых факторов, таких как:

поступление на фондовый рынок непредсказуемых известий о политических изменениях;

случайный характер потока заявок (требований), поступающих со стороны клиентов;

случайные перебои в выполнении плана снабжения и т. д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последствия), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > tQ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие его зависит только от настоящего состояния и не зависит от “предыстории” процесса.

Рассмотрим пример. Пусть система S представляет собой фондовый рынок, который уже существует какое-то время. Нас интересует, как будет работать система в будущем. Ясно, по крайней мере в первом приближении, что характеристики работы в будущем (вероятности падения цен конкретных акций через неделю) зависят от состояния системы в настоящий момент (здесь могут вмешаться самые различные факторы типа решений правительства или результатов выборов) и не зависят от того, когда и как система достигла своего настоящего состояния (не зависят от характера движения цен на эти акции в прошлом).

На практике часто встречаются случайные процессы, которые, с той или другой степенью приближения можно считать марковскими.

Теория марковских случайных процессов имеет широкий спектр различных приложений. Нас будет интересовать главным образом применение теории марковских случайных процессов к построению математических моделей операций, ход и исход которых существенно зависит от случайных факторов.

Марковские случайные процессы подразделяются на класс ы в зависимости от того, как и в какие моменты времени система S может менять свои состояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы j,, s2,53,... можно перечислить (пронумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) перескакивает из одного состояния в другое.

Например, разработку проекта S осуществляют совместно два отдела, каждый из которых может совершить ошибку. Возможны следующие состояния системы:

— оба отдела работают нормально;

s2 — первый отдел совершил ошибку, второй работает нормально;

53 — второй отдел совершил ошибку, первый работает нормально;

s4 — оба отдела совершили ошибку.

Процесс, протекающий в системе, состоит в том, что она случайным образом в какие-то моменты времени переходит (“перескакивает”) из состояния в состояние. Всего у системы четыре возможных состояния. Перед нами — процесс с дискретными состояниями.

Кроме процессов с дискретными состояниями существуют случайные процессы с непрерывными состояниями: для этих процессов характерен постепенный, плавный переход из состояния в состояние. Например, процесс изменения напряжения в осветительной сети представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями.

Мы будем рассматривать только случайные процессы с дискретными состояниями.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями очень удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Граф состояний геометрически изображает возможные состояния системы и ее возможные переходы из состояния в состояние.

Рис. 6.9

Пусть имеется система S с дискретными состояниями:

S S S

“V ^2’ V

Каждое состояние будем изображать прямоугольником, а возможные переходы (“перескоки”) из состояния в состояние — стрелками, соединяющими эти прямоугольники. Пример графа состояния приведен на рис. 6.9.

Заметим, что стрелками отмечаются только непосредственные переходы из состояния в состояние; если система может перейти из состояния s2 в s3 только через sv то стрелками отмечаются только переходы 2 —> и —> sv но не s2 —> sy

Рассмотрим несколько примеров:

1. Система S — фирма, которая может находиться в одном из пяти возможных состояний:

Рис. 6.10

s — работает с прибылью;

s2 — утратила перспективу развития и перестала приносить прибыль;

53 — стала объектом для потенциального поглощения;

s4 — находится под внешним управлением;

s5 — имущество ликвидируемой фирмы продается на торгах.

Граф состояний фирмы показан на рис. 6.10.

2. Система S — банк, имеющий два отделения. Возможны следующие состояния системы:

s{ — оба отделения работают с прибылью;

s, — первое отделение работает без прибыли, второе работает с прибылью;

— второе отделение работает без прибыли, первое работает с прибылью;

s4 — оба отделения работают без прибыли.

Рис. 6.11

Предполагается, что улучшение состояния не происходит.

Граф состояний представлен на рис. 6.11.

Отметим, что на графе не показан возможный переход из состояния непосредственно в s4, который осуществится, если банк сразу будет работать в убыток. Возможностью такого события можно пренебречь, что и подтверждает практика.

3. Система S — инвестиционная компания, состоящая из двух трейдеров (отделов): I и II; каждый из них может в какой-то момент времени начать работать в убыток. Если это происходит, то руководство компании немедленно принимает меры для восстановления прибыльной работы отдела.

Возможные состояния системы: s{ — деятельность обоих отделов прибыльна; s2 — первый отдел восстанавливается, второй работает с прибылью;

s3 — первый отдел работает с прибылью, второй восстанавливается;

s4 — оба отдела восстанавливаются.

Граф состояний системы показан на рис. 6.12.

Рис. 6.12

4. В условиях предыдущего примера деятельность каждого трейдера перед тем, как он начнет восстанавливать прибыльную работу отдела, подвергается изучению руководством фирмы в целях принятия мер по ее улучшению.

Состояния системы будем для удобства нумеровать не одним, а двумя индексами; первый будет означать состояния первого трейдера (1 — работает с прибылью, 2 — его деятельность изучается руководством, 3 — восстанавливает прибыльную деятельность отдела); второй — те же состояния для второго трейдера. Например, s23 будет означать: деятельность первого трейдера изучается, второй — восстанавливает прибыльную работу.

Возможные состояния системы S:

sn — деятельность обоих трейдеров приносит прибыль;

j12 — первый трейдер работает с прибылью, деятельность второго изучается руководством компании;

sl3 — первый трейдер работает с прибылью, второй восстанавливает прибыльную деятельность отдела;

s2X — деятельность второго трейдера изучается руководством, первый работает с прибылью;

s22 — деятельность обоих трейдеров изучается руководством; s23 — работа первого трейдера изучается, второй трейдер восстанавливает прибыльную деятельность отдела;

s3l — первый трейдер восстанавливает прибыльную деятельность отдела, второй работает с прибылью;

s32 — прибыльная деятельность отдела восстанавливается первым трейдером, работа первого трейдера изучается;

s33 — оба трейдера восстанавливают прибыльную работу своего отдела.

Всего девять состояний. Граф состояний показан на рис. 6.13.

Рис. 6.13

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>