Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление портфельного риска.

Если есть две случайные выборки Х{, ..., Хп и Yv ..., У, то можно определить: ковариацию:

коэффициент корреляции:

Необходимость введения этих понятий (см. подпараграф 4.2. главы 5) и их пояснение представим примером.

Предположим, что портфель состоит на 60% из акций компании А и на 40% из акций компании В. Вы ожидаете, что в наступающем году доходность акций компании А составит 15%, а акций компании В — 21%. Ожидаемая доходность вашего инвестиционного портфеля представляет собой средневзвешенную ожидаемых значений доходности отдельных акций[1]:

Ожидаемая доходность портфеля = (0,60 • 15) + (0,40 • 21) = 17,4%.

Расчет ожидаемой доходности портфеля — достаточно легкая процедура. Самая тяжелая часть работы — это определить риск портфеля. Допустим, в прошлом стандартное отклонение доходности составляло для акций компании А примерно 28%, для акций компании В — примерно 42%. Вы полагаете, что эти цифры по-прежнему служат верным показателем отклонения возможных будущих доходов. Скорее всего, сначала вы будете склонны допустить, что стандартное отклонение доходности вашего портфеля представляет собой средневзвешенную стандартных отклонений доходности отдельных акций, т.е.

(0,60 • 28) + (0,40 • 42) = 33,6%.

Это было бы верно, только если цены двух видов акций изменялись бы совершенно одинаково.

Рис. 5.12

На рис. 5.12 представлена процедура точного вычисления риска портфеля, состоящего из двух акций. Вам нужно заполнить таблицу из 4 прямоугольников. В верхнем левом прямоугольнике вы взвешиваете дисперсию доходности акции 1 (<7[2]) по квадрату доли инвестиций в акции 1 (.т,[2]). Заполняя нижний правый прямоугольник, вы взвешиваете дисперсию доходности акции 2 (сг2[2]) по квадрату доли инвестиций в акции 2 Дисперсия для портфеля из двух акций равна сумме значений в этих четырех прямоугольниках. Значение х. равно доле инвестиций в акции /; с,[2] — дисперсия доходности акций /; С.ковариация доходности акций / и j (р.&.о); р..корреляция доходности акций i,j.

Элементы прямоугольников, расположенных по этой диагонали, зависят от дисперсий акций 1 и 2, элементы двух других прямоугольников зависят от их ковариаций. Как вы можете предположить, ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух акций. Ковариация может быть выражена умножением коэффициента корреляции рп, который характеризует степень линейной функциональной зависимости между случайными величинами, на два стандартных отклонения[6]:

С,2 = Р,2СТ,°Г

Для двух случайных величин коэффициент корреляции имеет следующие свойства:

  • 1) —1 < р < 1;
  • 2) если р = ±1, то между случайными величинами Хи Y существует функциональная линейная зависимость;
  • 3) если р = 0, то случайные величины X и Y некоррелированы, что не означает независимости вообще;

4) если X и Y образуют систему нормально распределенных случайных величин, то из их некоррелированности следует их независимость.

Раздел математической статистики, изучающий методы оценки выборочного коэффициента корреляции, проверку его значимости, называется корреляционным анализом.

Большинство же акций имеет тенденцию к одновременному изменению. В этом случае коэффициент корреляции р12 положителен, следовательно, положителен и коэффициент ковариации ап. Если различные акции движутся совершенно не связанно, тогда коэффициент корреляции и ковариация равны нулю; если акции изменяются в противоположных направлениях, коэффициент корреляции и ковариация отрицательны. Вы взвешиваете дисперсии умножением на квадрат доли инвестиции, таким же образом вы должны взвесить ковариацию умножением на произведение двух соответствующих вложений в хх и х2.

Когда вы заполните все четыре прямоугольника, вы просто складываете полученные в них величины и находите дисперсию портфеля:

Дисперсия портфеля = + х222 + 2(х|х2р|2|<72).

Стандартное отклонение портфеля равно корню квадратному из дисперсии.

Теперь мы можем попробовать привести некоторые цифровые примеры для акций компаний Ап В. Заметим, что при совершенной корреляции двух акций значение стандартного отклонения состоящего из них портфеля будет находиться на 40%-ной отметке промежутка между стандартными отклонениями этих акций (или, иными словами, стандартное отклонение портфеля будет превышать меньшее из стандартных отклонений двух акций на 40% от разности между этими стандартными отклонениями).

Давайте проверим это, заполнив четыре прямоугольника при условии р12 = +1.

A

В

A

В

Дисперсия вашего портфеля акций будет равна сумме полученных значений:

Дисперсия портфеля = [(0,60)2 • (28)2] + [(0,40)2 • (42)2] + 2(0,60 х х 0,40 • 1-28-42)= 1129.

Стандартное отклонение равно Vl 129 = 33,6%, или превышает 28 на 40% от разности между 42 и 28.

Акции компаний А и В изменяются не совершенно одинаково. Если исходить из прошлого опыта, то коэффициент корреляции между двумя акциями составляет примерно 0,4. Если мы проделаем те же вычисления при условии, что р12 = +0,4, то обнаружим:

Дисперсия портфеля = [(0,60)2 • (28)2] + [(0,40)2 • (42)2] + 2(0,60 х х 0,40 • 0,4 • 28 • 42) = 790,27.

Стандартное отклонение равно а/790 = 28,1%. Теперь величина риска отличается от 28 значительно меньше чем на 40% от разности между 42 и 28, на самом деле она практически равна риску при условии инвестирования только в акции компании А.

В качестве иллюстрации давайте предположим, что взаимосвязь между акциями компаний А и В такова, что коэффициент корреляции отрицателен. Поскольку мы представляем нереальную ситуацию, пойдем еще дальше и допустим, что между акциями существует совершенно отрицательная корреляция (р12 = -1). В этом случае:

Дисперсия портфеля = [(0,60)2 • (28)2] + [(0,40)2 • (42)2] + 2(0,60 х х 0,40 • (-1) • 28 • 42) = 0.

При отрицательной корреляции всегда существует стратегия формирования портфеля (представленная особым набором акций в нем), позволяющая полностью исключить риск[7]. Очень жаль, что в реальности такой совершенно отрицательной корреляции между обыкновенными акциями не бывает.

Чтобы определить дисперсию портфеля, состоящую из N акций, необходимо заполнить матричную таблицу, подобную той, что изображена на рис. 5.13. Квадраты, расположенные по диагонали, указывают на значения дисперсии (х[8]<7[8]), а недиагональные квадраты — на значения ковариации (д:(;.(Т..).

Рис. 5.13

Каждый прямоугольник на диагонали — затемненные квадраты на рис. 5.13 — содержит значение дисперсии, взвешенной по квадрату доли инвестиций в соответствующие ценные бумаги. Остальные квадраты содержат информацию о ковариации между двумя ценными бумагами, взвешенной по произведению соответствующих долей инвестиций.

Обратили ли вы внимание, глядя на рис. 5.13, как вырастает значение ковариации при увеличении

количества ценных бумаг в портфеле? Если мы берем портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг, количество квадратов в таблице со значениями дисперсий равно количеству квадратов с ковариацией. Если количество разных ценных бумаг больше двух, тогда квадратов с ковариацией гораздо больше, чем квадратов с дисперсией. Следовательно, судить об изменчивости портфеля следует главным образом по ковариации.

Рассмотрим портфель с равными долями инвестиций в N акций. Следовательно, в каждую акцию инвестируется /Nсовокупных инвестиций. Следовательно, дисперсия в каждом квадрате равна (1/JV)[8] общей дисперсии, а ковариация — (1 IN)[8] общей ковариации. Имеется N квадратов с дисперсиями nlSP-N квадратов с ковариацией. Следовательно:

(1Y

Дисперсия портфеля = N — х средняя дисперсия +

[N)

1 Y 1

+ (N2 - N) ~ х средняя ковариация = , Т х средняя дисперсия +

J

fi-1)

+ 1 N Х сРе^няя ковариация.

Заметим, что если число N возрастает, то значение дисперсии портфеля почти приближается к среднему значению ковариации. Если бы средняя ковариация равнялась нулю, то можно было бы полностью избежать риска, располагая достаточным количеством ценных бумаг. К сожалению, обычные акции изменяются независимо друг от друга. Большинство акций, которые может приобрести инвестор, связаны друг с другом, т.е. имеют положительную ковариацию, которая ограничивает эффект увеличения количества акций портфеля.

[>ПРИМЕР 5.45. Стандартное отклонение доходности акций компании А за период t составляет 30%, акций компании В за тот же период — 20%. Коэффициент корреляции р = 0,5. Определить риск портфеля (стандартное отклонение доходности за период t), если инвестор купил акций компании А на 5000 руб., В — на 20 000 руб.

Решение. Инвестор всего купил акций на 25 000 руб. Тогда доля акций компании А от общей суммы составляет 20%. Доля акций компании В — 80%. По условию о-, = 0,3, о2 = 0,2. Дисперсию портфеля вычислим по формуле:

Тогда риск портфеля

некоторого (возможно, многомерного) неизвестного параметра в F(x) = F(x; в), в е 0 с R". Общая задача оценивания заключается в получении каких-либо выводов о параметре в на основании наблюдений Хх, ..., X. Различают точечное и интервальное оценивание.

Любая функция п R" —> 0 называется точечной оценкой (или просто оценкой) параметра в. Часто используется обозначение О = (рп,X'). В русскоязычной литературе по статистике, как правило, одним и тем же термином “оценка” называют как функцию п, так и ее значение 0 для конкретных наблюдений Хх, ..., Хп. В английском языке ^эти объекты различают, называя пestimator, а величину вestimation. Поэтому правильнее было бы называть функцию п методом оценивания, сохранив название “оценка” за величиной 0 , однако такая терминология не является общепринятой. Заметим, что оценка, являясь функцией случайных наблюдений, также есть случайная величина.

Множество Dn(Xx, ..., XJ доверительным множеством с уровнем доверия а (или 100а% — доверительным множеством), если Р(в е Dn{Xх, ..., XJ) = а, где 0 < а < 1. Часто это множество называют интервальной оценкой параметра в с уровнем доверия а. Термин “интервальная” связан с тем, что в случае одномерного параметра в качестве доверительных множеств рассматриваются, как правило, интервалы.

Одной из традиционных задач статистики является проверка статистических гипотез. Простейшая схема выглядит следующим образом. Выдвигается основная, или нулевая, гипотеза о том, что неизвестный параметр принадлежит некоторому заданному подмножеству ZQ с 0, и альтернативная гипотеза о том, что параметр принадлежит другому подмножеству Zx с 0. Обычно используются обозначения: HQ: ве ZQ и Нх: ве Zv Требуется на основании наблюдений Хх, ..., Хп принять (проверить) нулевую гипотезу Н0 или отвергнуть ее в пользу альтернативной гипотезы Н. Ниже мы более подробно рассмотрим задачи оценивания и проверки гипотез.

  • [1] Давайте это проверим. Предположим, вы инвестируете 60 уел. ед. вакции компании А и 40 долл, в акции компании В. Ожидаемый долларовыйдоход по вашим акциям А равен 0,15(60) = 9,00 уел. ед., и по акциям В —0,21(40) = 8,40 уел. ед. Ожидаемый долларовый доход от вашего портфелясоставляет 9,00 + 8,40 = 17,40 уел. ед. Норма доходности портфеля равна17,40/100 = 0,174, или 17,4%.
  • [2] просто ее дисперсии.
  • [3] просто ее дисперсии.
  • [4] просто ее дисперсии.
  • [5] просто ее дисперсии.
  • [6] Отметим, что ковариация любой ценной бумаги с ней самой равна
  • [7] Поскольку стандартное отклонение по акциям компании В в 1,5 разапревышает отклонение по акциям компании А, чтобы исключить риск дляпортфеля из двух данных акций, необходимо инвестировать в 1,5 раза больше средств в акции компании А.
  • [8] 2 Формула эквивалентна “сложению всех квадратов”: N N Дисперсия портфеля - II хх.С...
  • [9] 2 Формула эквивалентна “сложению всех квадратов”: N N Дисперсия портфеля - II хх.С...
  • [10] 2 Формула эквивалентна “сложению всех квадратов”: N N Дисперсия портфеля - II хх.С...
  • [11] 2 Формула эквивалентна “сложению всех квадратов”: N N Дисперсия портфеля - II хх.С...
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>