Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дисперсия и стандартное отклонение.

Стандартными статистическими показателями разброса результатов служат дисперсия и стандартное отклонение. Дисперсия рыночной доходности D(X) представляет собой ожидаемое отклонение от ожидаемой доходности в квадрате. Это можно выразить так

Дисперсия (X) = ожидаемое значение (X. - X)2,

где X. — фактическая доходность, X — ожидаемая доходность, или иначе

где X есть среднее арифметическое значений фактической доходности:

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

Формула (5.25) верна, если все значения Хх, ..., X признака выборки объема п различны. Если же значения признака Хр ..., Хк имеют соответственно частоты и, п2,..., пк, причем п{ + п2 + пъ +... + пп = п, то

Приведем очень простой пример, показывающий, как вычисляются дисперсия и стандартное отклонение. Допустим, что вам представилась возможность сыграть в следующую игру. Сначала вы инвестируете 100 уел. ед. Затем подбрасываете две монеты. Если выпадет “орел” — прибавляете к первоначальной сумме 20%, если “решка” — отнимаете 10%. Очевидно, существует четыре вероятных результата: “орел” + “орел”: +40%;

“орел” + “решка”: +10%;

“решка” + “орел”: +10%;

“решка” + “решка”: -20%.

Составим таблицу распределения частот:

X

+40

+10

-20

wt.

1

1

1

4

2

4

Относительная частота равна 1 к 4 (или 0,25), что вы получите 40%, равна 2 к 4 (или 0,5), что вы получите 10%, и 1 к 4 (или 0,25), что вы потеряете 20%. Ожидаемая доходность игры, следовательно, представляет собой средневзвешенную значений фактической доходности:

Таблица 5.1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Процентная

норма

доходности

X*

Отклонение

ожидаемой

доходности

Xt-X

Квадрат

отклонения

;-Х)2

Относительная

частота

wt

+40

+30

900

0,25

225

+10

0

0

0,5

0

-20

-30

900

0,25

225

Из таблицы видно, что дисперсия процентных доходов составляет 450. Стандартное отклонение — корень квадратный из 450 — приблизительно равно 21,21. Норма доходности имеет те же единицы измерения, поэтому мы можем сказать, что изменчивость результатов игры составляет 21,21%.

Один из способов охарактеризовать неопределенность — сказать, что событий происходит меньше, чем можно ожидать. Риск, присущий активам, можно точно выразить описанием всех возможных результатов и вероятности их возникновения, как мы делали в игре с подбрасыванием монет. Однако для реальных активов это сделать трудно, а часто и невозможно. Поэтому мы используем дисперсию и стандартное отклонение, чтобы описать разброс возможных результатов[1].

Эти показатели и являются естественными измерителями риска. Если бы исход с подбрасыванием монет был предопределен, стандартное отклонение равнялось бы нулю. Фактическое стандартное отклонение будет положительно, поскольку мы не знаем, что произойдет на самом деле. Рассмотрим вторую игру, похожую на первую, за исключением того, что теперь при выпадении “орла” прибавляется 35%, при выпадении “решки” отнимается 25%. И опять возможны следующие четыре исхода:

“орел” + “орел”: +70%;

“орел” + “решка”: +10%;

“решка” + “орел”: +10%;

“решка” + “решка”: -50%.

В данной игре ожидаемая доходность, как и в первом случае, равна 10%, но стандартное отклонение вдвое больше — 42,43% против 21,21% в первой игре. Это говорит о том, что вторая игра в два раза рискованнее первой.

  • [1] Какой из этих показателей использовать — исключительно вопросудобства. Так как стандартное отклонение выражается в тех же единицах,что и норма доходности, в целом, этот показатель использовать удобнее.Однако, когда мы говорим о доле риска, объясняемого каким-то фактором,обычно менее опасно пользоваться показателем дисперсии.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>