Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Некоторые аспекты из области математической статистики

Основные задачи математической статистики. Измерение риска, присущего инвестиционному портфелю

Мы не ставим своей целью дать в рамках данного учебника полный содержательный курс теории вероятностей и математической статистики (ему посвящены замечательные работы, напри- мер, [4], [5], [11]), но здесь хотим лишь проинформировать читателей, показать на конкретных примерах важность изучения математической статистики для будущих экономистов.

В подпараграфе 1.4 главы 5 мы говорили о портфеле инвестиций и перечислили несколько видов инвестиций. Главное, что отличает все эти виды инвестиций — степень риска. Наименее рискованными инвестициями, которые вы можете осуществить, являются денежные вложения в государственные ценные бумаги (ГКО). Риск непогашения этих бумаг минимален, а короткий срок означает относительную стабильность цен на них.

По сути, инвестор, который хочет дать взаймы, скажем на 3 месяца, может обеспечить себе гарантированный доход, купив ГКО со сроком 3 месяца. Однако при этом инвестор не может быть уверен в том, какова их реальная норма доходности (см. §3 главы 3, подпараграф 23.4 главы 4), поскольку остается неопределенность, порождаемая инфляцией, действиями правительства, общей экономической ситуацией и т.д.

Формируя портфель из долгосрочных правительственных облигаций, инвестор приобретает активы, цены на которые изменяются с изменением процентных ставок. (Цены на облигации падают, когда процентные ставки растут, и наоборот.)

Переходя от правительственных облигаций к облигациям компаний, инвестор берет на себя дополнительный риск, связанный с невыполнением обязательств по ним {неплатежеспособностью) конкретных юридических лиц. Приобретая обыкновенные акции, инвестор разделяет риски предприятия, акции которого он приобрел.

Математическая статистика позволяет обосновать ответ на вопросы: о случайности и закономерности изучаемого явления (влияет ли инфляция на доходность[1] акций); как зависит результативный признак от факторного (как зависит доходность акций от уровня инфляции при прочих равных условиях); сколько необходимо провести наблюдений для объективного суждения об изучаемом явлении; какой фактор сильнее влияет на результат (влияние результатов парламентских выборов или цен на нефть на доходность акций).

Методы математической статистики можно разделить на описательные и аналитические.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов; описать реальные наблюдения с помощью таблиц, графиков, характеристик положения (среднее арифметическое, мода), характеристик рассеяния (среднее квадратическое отклонение, дисперсия) и т.д.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

  • а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
  • б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Аналитические методы позволяют на основании выборочных наблюдений сделать статистически значимые выводы о наличии закономерностей для всей совокупности.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность наблюдений Хр ..., Хп называется случайной выборкой объема п (или выборочной совокупностью), если Хх, ...,Х получены как независимые реализации некоторой случайной величины X с распределением F(x). При этом также говорят, что Хр ..., Хп есть выборка из генеральной совокупности X (или F(x)). С теоретико-вероятностной точки зрения случайная выборка Xv ..., Хп может рассматриваться как последовательность независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение F(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Например, если из 50 акций 50 различных компаний отобрано для финансового анализа 10 акций, то объем генеральной совокупности N = 50, а объем выборки п = 10.

В реальных социально-экономических системах данные обычно представляют собой наблюдения за происходящим процессом, например курсом валюты на бирже в течение месяца. Результаты наблюдений в общем случае — ряд чисел, расположенных в беспорядке, который для изучения необходимо упорядочить (проранжи- ровать).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Операция, заключенная в расположении значений признака по неубыванию, называется ранжированием опытных данных.

После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак воспринимал одно и то же значение, которое называется вариантом (х.). Число элементов в каждой группе называется частотой варианта (/?.). Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х, на-

it

блюдалось п, раз, х2п2 раз, хкпк раз и .= п — объем вы-

«=1

и

борки. Отношение частот к объему выборки — = Wj называют

п

относительными частотами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность вариант, расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом (вариация — изменение).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Перечень вариант и соответствующих им частот, или относительных частот, называют статистическим распределением выборки.

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Вариационные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полигон частот — это ломаная, отрезки которой соединяют точки (х,; л,), (х2; п2),..., (х^; пк).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полигон относительных частот — это ло-

п л,

маная, отрезки которой соединяют точки (Хр —-), (х2; —),..., п пп

П

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с основанием h и высотами п.. Для гистограммы относительных частот в качестве высоты при-

п,

нимают —. п

Гистограмма относительных частот является аналогом дифференциальной функции случайной величины (плотности распределения).

Вернемся к вопросу об измерении риска, присущего инвестиционному портфелю. Пусть у вас есть два значения, от которых вы можете оттолкнуться. Вы знаете ставку дисконта для безопасных проектов и ставку для проектов со “средним риском”. Но вы не знаете пока, как вычислить ставки дисконта для активов, не вписывающихся в эти простые случаи. Для того чтобы их определить, вы должны знать: 1) как измерить риск и 2) какова связь между возникновением риска и требуемыми премиями за риск.

На рис. 5.10 показаны среднегодовые нормы доходности акций компании А, рассчитанные для фондового рынка в некоторой гипотетической экономике. Колебания доходности от года к году очень значительны. Самое большое значение годовой доходности 54,0% наблюдалось в 1934 г. Однако, за 4 года произошло снижение более чем на 25%, в 1932 г. отмечалось самое низкое значение доходности, которое составило -43,3%.

Рис. 5.10

Другой способ представления данных — гистограмма, или частотное распределение. Это показано на рис. 5.11, где изменчивость доходности от года к году представлена широким “разбросом” результатов.

Рис. 5.11

  • [1] Доходность — отношение величины получаемого дохода за периодвремени к цене акции.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>