Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Определение плотности распределения.

Непрерывная случайная величина задавалась нами ранее с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения, или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плотностью распределения вероятностей

непрерывной случайной величины X называется функция f{x) — первая производная от функции распределения F(x):

Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

? ТЕОРЕМА 5.7. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до Ь:

В частности, если f(x) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

О ПРИМ ЕР 5.33. Задана плотность вероятности случайной величины X

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

О ПРИМЕР 5.34. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

и построить ее график.

Решение. Воспользуемся формулой (5.17).

Если х < а, тоДх) = 0, следовательно, F(x) = 0. Если а < х < Ь, то f{x) = l/(b - а), следовательно,

Если х> Ь, то

Итак, искомая функция распределения

График функции изображен на рис. 5.8. ?

Рис. 5.8

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределениянеотрицательная функция:

Г рафик плотности распределения называют кривой распределения.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от-оо дооо равен единице:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>