Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение вида

где р и q — действительные числа, J{x) — известная непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для общего решения неоднородного уравнения (4.124) справедлива следующая теорема.

? ТЕОРЕМА 4.43. Общее решение у неоднородного уравнения (4.124) равно сумме общего решения уодн соответствующего однородного уравнения

и любого частного решения у данного неоднородного уравнения. Ш

Согласно этой теореме для решения уравнения (4.124) вначале находится функция уо н (по правилам 1°-3°), а затем — функция у. Их сумма и дает общее решение у неоднородного уравнения:

Для некоторых специальных видов функции f{x) частное решение у можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части f{x) можно заранее указать вид частного решения у, где неизвестны лишь числовые коэффициенты, в следующих простейших случаях.

СЛУЧАЙ 1. f{x) = Р(х), где Р(х) — многочлен некоторой степени.

В этом случае у есть многочлен Q(x) той же самой степени, что и Р(х), если число 0 не является корнем характеристического уравнения; если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности г, то у = хгQ{x).

СЛУЧАЙ 2. fix) = е”* (я, т — некоторые числа).

В этом случае у = А&"х, если число т не является корнем характеристического уравнения, и у = Ахгетх, если число т является корнем характеристического уравнения кратности г.

Здесь А — подлежащий определению коэффициент.

СЛУЧАЙ Ъ.Дх) = е”* • Р(х), где Р(х) — многочлен некоторой степени.

В этом случае у = • Q(x), если число т не является корнем

характеристического уравнения, и у = xrefnx • Q(x), если число т — корень характеристического уравнения кратности г.

Здесь Q{x) — многочлен той же степени, что и Р(х), коэффициенты которого подлежат определению.

Заметим, что из случая 3 при т = О получаем случай 1; а если Р(х) = а (многочлен нулевой степени), то f{x) = аетх, и из случая 3 получаем случай 2.

СЛУЧАЙ 4. f{x) = ^(acosnx + bsinnx).

Тогда у = emx(Acosnx + Bsinnx), если числа т ± ni не являются корнями характеристического уравнения, и у = xe^^coswx + + .Ssinrtx), если числа т ± ni являются корнями характеристического уравнения.

Здесь А и В — подлежащие определению коэффициенты.

СЛУЧАЙ 5. Правая часть уравнения (4.124) — функция f{x) — есть сумма указанных функций.

Тогда частное решение у этого уравнения есть сумма частных решений уравнений с той же левой частью, что и уравнение (4.124), а правые части этих уравнений есть каждое слагаемое правой части уравнения (4.124).

D> ПРИМЕР 4.52. Решить уравнения:

Р е ш е н и е. а) Сначала находим общее решение однородного уравнения у" + у' - 2у = 0, соответствующего данному неоднородному уравнению. Его характеристическое уравнение к2 + к - 2 = О имеет корни ку = -2, к2 = 1. Поэтому (согласно правилу 1°) у = С.е~ + С.е*.

Теперь находим частное решение у данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения f{x) = 2. Согласно указанному правилу (случай 1, число 0 не является корнем характеристического уравнения) у есть многочлен той же степени, что иДх) = 2, то есть многочлен второй степени: у = Ах2 + + Вх + С. Отсюда, дифференцируя, находим у' = 2Ах + В, у" = 2А

и подставляя у, у , у в данное уравнение, получим равенство

2А + 2Ах + В-2Ах2 -2Вх-2С = 6х2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, а только при этом условии оно будет тождественным, получим систему

из которой находим А = 3, В = -3, С = -4,5. Следовательно, у - -Зх2 - - Зх - 4,5, а искомое общее решение данного неоднородного уравнения

б) Составляем характеристическое уравнение к2-Ък = 0, определяем его корни кх = 0, к2 = 3 и (согласно правилу 2°) находим общее решение уо н однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению: уодн = Сх + С2е.

Частным решением у данного неоднородного уравнения в соответствии с его правой частью/(х) = 2 - 6х (случай 1, число 0 — корень характеристического уравнения) будет функция вида у = х(Ах + В) = Ах2 + Вх.

Подставляя функцию у и ее производные у' = 2Ах + В, у =2А в данное неоднородное уравнение, получим равенство

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х обеих его частей, получим систему

Решая ее, находим А = 1, В = 0. Следовательно, у = х2, общее решение

в) Здесь характеристическое уравнение к2 - 6к + 9 = 0 имеет корни кх = к2 = 3. Поэтому общее решение однородного уравнения есть функция уо н = С{е + C2xeix. Частное решение у неоднородного уравнения следует искать в виде у = Аех согласно указанному правилу (случаи 2, число т- 1 не является корнем характеристического уравнения). Находим у - Аех, у" = Аех. Подставим у, у', у" в данное уравнение и определим значение коэффициента А:

Следовательно, у = -2ех, у = уодн + у = С,е3* + С2хе*х - 2е* .

г) Характеристическое уравнение к2 + 5к = 0 имеет корни кх = О, к2 =-5. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения (по правилу 1°) уодн = С, + С2е~.

Согласно указанному правилу и случаю 2 число т = -5 является корнем характеристического уравнения у = хАе~. Находим

Подставляя у, у', у" в данное уравнение, получим отсюда найдем А = -0,2.

Следовательно, у = -0,2хе_5х, У=У + У = Cj + С2е~ - 0,2хех.

д) Характеристическое уравнение к2- 4 = 0 имеет корни кх = -2, к2 = 2. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения:

Частным решением неоднородного уравнения будет функция у = (Ах + B)q~x (случай 3, т = -1 не является корнем характеристического уравнения). Находим

Подставим у, у', у" в данное уравнение, получим:

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, получим систему уравнений для определения А и В:

1 2

Решая ее, находим А = ——,В = —. Следовательно, - ( 1 2-х

  • 3X+9J ? Значит, у = у„я + у С,е-2' + С2е2' +
  • 1 2 ,

+ — хл— Ь .

I 3 V

е) Характеристическое уравнение к2+ 9 = 0 имеет корни к{ = 3i, к2 = -3/. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения (см. правило 3°, где а= 0, /3 = 3)^одн = CjCos3x + C2sin3x.

Частное решение у данного неоднородного уравнения будет у = x(^4cos3x + 5sin3x) (случай 4, т = 0, п = 3 и числа m±ni = ±3i являются корнями характеристического уравнения).

Дифференцируя дважды это равенство, находим у":

Подставив у и у" в данное уравнение, получим

Приравнивая коэффициенты у подобных членов в обеих частях равенства, найдем 6В = 12; -6А = 18. Значит, А = -3, В = 2.

Следовательно, у = x(-3cos3x + 2sin3x),

ж) Характеристическое уравнение к2-к = 0 имеет корни кх = О, к2= 1. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

Частным решением неоднородного уравнения будет функция у = х(Ах + В)е ={л х2 + Вх)ех (согласно указанному правилу, случай 3, т = 1 является корнем характеристического уравнения). Находим

Подставляя у и у" в данное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель е* ^ 0, получаем

или после упрощения 2Ах + + В = 2х + 3.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены в обеих частях равенства, получим

Откуда А = 1, В = 1. Следовательно, у = (х2 + х)ех, а искомое решение данного неоднородного уравнения:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>