Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение вида

где р и q — постоянные действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами; р и q — его коэффициенты.

Общее решение уравнения (4.119) находится с помощью характеристического уравнения

которое получается из уравнения (4.119), если, сохраняя в нем коэффициенты р и q, заменить функцию у единицей, а все ее производные А>го порядка соответствующими степенями к.

При этом справедливы правила:

1°. Если корни кх и к2 характеристического уравнения (4.120) действительные и различные, то общее решение уравнения (4.119) выражается формулой:

  • 2°. Если корни кх и к2 характеристического уравнения (4.120) действительные и равные х = &2), то общее решение уравнения
  • (4.119) выражается формулой:

  • 3°. Если корни кх и к2 характеристического уравнения комплексные (/:, = « + pi, к2 = а - pi), то общее решение уравнения
  • (4.119) есть

D> ПРИМЕР 4.51. Найти общее решение уравнений:

Р е ш е н и е: а) заменяя в данном уравнении функцию у единицей, а ее производные соответствующими степенями к, напишем его характеристическое уравнение: к2 - к - 6 = 0.

Корни этого уравнения кх = -2, к2 = 3 действительные и различные. Поэтому согласно правилу 1° искомое общее решение данного уравнения будет

  • б) по указанному правилу составляем характеристическое уравнение: к2 - 22к +121=0. Решая это уравнение, получим к12 = 11. Согласно правилу 2° общим решением данного уравнения будет у = CxqUx + С2хе11х;
  • в) характеристическое уравнение к2 + 16 = 0 имеет корни кх = 4i; к2 = -4i. Согласно правилу 3° общее решение данного уравнения имеет вид: у = eav(CjC0Sj8x + С2sinjSx).

Полагая в этом равенстве а = 0, (3 = 4, получим общее решение данного уравнения: у = CjCOs4x + C2sin4x;

г) характеристическое уравнение к2 - 4к + 20 = 0 имеет комплексные корни кх = 2 + 4/, к2 = 2 - 4/. По правилу 3°, полагая в равенстве (4.123) а = 2, /3 = 4, получим общее решение заданного уравнения

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>