Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка, его общее решение и начальные условия. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция у= (р(х, Ср С2), удовлетворяющая уравнению (4.15) при любых значениях произвольных постоянных Cj и С2, называется его общим решением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение уравнения (4.115), получающееся из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных Cj и С2, называется частным решением этого уравнения.

Так как в функцию у - (р (х, Cv С2) входят две произвольные постоянные Сх и С2, то для выделения из общего решения уравнения (4.115) некоторого частного решения необходимо иметь два начальных условия: если х = х0, то у = у0, у' = у'0, у" = у"0, т. е. у(х0) = = У„,/(х0) = /о-

_ {Уо=<р(хо’С„сЛ

Тогда

Из этой системы можно определить постоянные Сх и С2 и тем самым найти частное решение уравнения (4.115).

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

В следующих частных случаях уравнения второго порядка сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка.

СЛУЧАЙ 1. Уравнение имеет вид:

где fix) — непрерывная на интервале (а, Ъ) функция.

/, dy'

Так как у = ) = , то данное уравнение можно записать так:

dx

Интегрируя последнее уравнение, получим:

Интегрируя еще один раз, получим общее решение уравнения (4.116):

О ПРИМЕР 4.48. Найти общее решение уравнения у" = Бе2' + 12х.

Решение. Так как у" = , то данное уравнение можно

dx

записать так:

Интегрируя, получим:

Отсюда dy = (4е2лг + 2 + С{ )dx и, значит,

Итак, у = Iq2* + 2х3 + Схх + С2 — общее решение заданного уравнения. ?

СЛУЧАЙ 2. Пусть уравнение не содержит;;, то есть имеет вид: Щх9ууГ) = 0. (4.117)

Положим у - z, где z — некоторая функция аргумента х. Тогда у" = z и уравнение (4.117) становится уравнением первого порядка:

О ПРИМЕР 4.49. Найти общее решение уравнения ху" = у'. Решение. Данное уравнение не содержит явным образом у. Положим у' - z.

Тогда у" = z. Имеем:

Интегрируя последнее уравнение, получим ln|z| = ln|x| + InCj

/_ dy

или, потенцируя, z = С.х. Так как z — у — —— то dy = C.xdx. Ин- 1 dx 1

тегрируя еще раз, получим общее решение заданного уравнения:

СЛУЧАЙ 3. Пусть уравнение не содержит х, то есть имеет вид:

Тогда в качестве неизвестной функции опять берется у', но за аргумент вместо х принимаем у. Пусть у' = р. Применяя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь

djy

С учетом этого уравнение (4.18) примет вид F у, р,р — =0 —

I dy

это дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р.

D> ПРИМЕР 4.50. Найти общее решение уравнения 2уу" = 1 + (у')2.

Решение. Пусть у - р, тогда у" = р— и заданное уравне-

dy

ние примет вид 2ур— = 1 + р2. Разделяя в нем переменные, полу- dy

1 +рУ

Интегрируем это уравнение:

Откуда р2 = Су- 1, или (у')2 = Су - 1, и / = .

Далее, так как у' = — , то — = ±JС. у -1; ± , = = dx.

У dx dx ^ хУ

Интегрируя последнее уравнение, получим

Возводя обе части этого равенства в квадрат и выражая потом С 1

у, получим у =1 (рс + С2 )2 н---общее решение заданного урав-

нения. ?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>