Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Некоторые приложения интегрального исчисления

Классическая модель Вильсона управления запасами

Пусть y(t) — величина запаса некоторого товара на складе в момент времени t, t > 0. Дефицит на складе не допускается, т.е. y{t) > 0 при t > 0. Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью /л, т.е. за время At со склада извлекается часть запаса величиной /lAt. С другой стороны, в моменты времени t0 = 0, tv t2, ... на склад приходят поставки величиной Q0, Qr Qv ... соответственно. Таким образом, изменение запаса у(t) товара на складе может быть изображено зубчатой ломаной (рис. 4.45), наклонные отрезки которой параллельны, при этом tga = /1.

Примем следующие обозначения. Если t2 — момент очередной поставки, то величину запаса на складе в момент непосредственно перед поставкой будем обозначать у[$~), а величину запаса в момент поступления партии размера Q2 будем обозначать y(t2) (см. рис. 4.45). Таким образом, y(t2) = y(t~) + Q2.

Рис. 4.45

Пусть s — плата за хранение единицы продукта в течение единицы времени, g — плата за доставку одной партии (не зависящая от размера поставки). Тогда средние издержки за время Т

У

где п(7) — количество поставок в интервале [0, 7].

Запись в левой части формулы (4.100) означает, что средние издержки зависят от значений функции y(t) при всех 0 < t < Т. Условно функция обозначена как у. Область определения fT(y) — не множество чисел, а множество функций.

Для оптимизации системы управления запасами необходимо выбрать моменты поставки tv t„ t3,... и величины поставок Q0, Qv Q2, Q3,... так, чтобы минимизировать значение/г(у) при фиксированном Т. При этом период времени Т будем называть горизонтом планирования.

Рис. 4.46

Задание моментов приходов поставок и их величин полностью определяет функцию y{t), 0 < t <

< Т, и наоборот: функция y(t) полностью задает моменты прихода поставок и их величины. И то и другое будем называть планом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Планом Вильсона, соответствующим величине поставки Q, называется план, в котором все поставки равны, т.е. Q = <2, = Q2 = ... = Q, и все временные интервалы равны одному и тому же значению At = (2/Л, гДе 1~ 1, 2, 3,... (рис. 4.46).

? ТЕОРЕМА 4.39. Для любого периода времени Т существует оптимальный план, на котором fT(y) достигает минимума. Этим планом является план Вильсона. Ш

Пусть Q — размер поставки в плане Вильсона на отрезке [0, 7], соответствующий числу поставок п(Т), т.е. рТ = Qn(T). Тогда

Выражение в правой части формулы (4.101) достигает минимума при Q = Q0, где

В том случае, если /J>T/Q0 является целым числом, Q0 определяет оптимальный размер поставки, и, следовательно, соответствующий план является планом Вильсона. Формула (4.2) — знаменитая “формула квадратного корня”, приводимая во всех учебниках по теории управления запасами. Минимальное значение выражения (4.1) равно Q, = s.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>