Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция/(х) интегрируема на отрезке [а, Ь, то она интегрируема и на отрезке [а, х], где х е [а, Ь. Рассмотрим функцию аргумента х

(Здесь переменная интергрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Ф(х) (4.98) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если Д/) — неотрицательная функция, то величина Ф(х) численно равна площади криволинейной трапеции аЛХх. Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от х (см. рис. 4.44).

? ТЕОРЕМА 4.37. Если f{x) — непрерывная функция и

X

Ф(*) = J/(?)d?, то Ф'(х) = /(*). *

Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна) и функция Ф(х) является одной из первообразных функций f{x).

? ТЕОРЕМА 4.38. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула

Формула (4.99) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Отметим, что разность F(b) - F(a) не зависит от выбора первообразной F, так как все первообразные отличаются на постоянную величину, которая при вычитании уничтожается.

Если ввести обозначение F(b)~ F(a)= F(jc)|* , то формулу (4.99) можно переписать так:

Рис. 4.44

D> ПРИМЕР 4.37. Вычислить определенный интеграл Jjccbc. Решение. По формуле Ньютона — Лейбница имеем:

При вычислении определенных интегралов методика для вычисления неопределенных интегралов остается верной с той лишь разницей, что теперь необходимо учитывать пределы интегрирования.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>