Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Определенный интеграл

Определение определенного интеграла

Мощным средством исследования в математике, физике, экономике, статистике, социологии и других науках является определенный интеграл — одно из основных понятий математического анализа.

Вычисление площадей, ограниченных кривыми, сводится к вычислению определенного интеграла.

Рис. 4.42

Пусть на отрезке [а, Ь задана непрерывная функция у - f{x)

(рис. 4.42). Обозначим через т и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок [а, b] на п частей точками деления а = х0, xl,x2,...,xn _vxn = b, причем Х0 < Jtj < Х2 < ... < Хп, И ПОЛОЖИМ Хх - Х0 = Axv Х2 - Jtj = Ах2, ..., хп - -х = Ах . Обозначим далее наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [х0, jcJ через тх и Mv на отрезке [х , х2] через т2 и М2, ..., на отрезке п_р хп] через тп и Мп. Составим суммы

Сумму Sn называют нижней интегральной суммой, а сумму Sn - верхней интегральной суммой. При f{x) > 0 площадь заштрихованной фигуры содержится между числами Sn и Sn.

В каждом из отрезков [x0, xj, [хр х2], ..., п, xj возьмем по произвольной точке, которые обозначим ?, ?2,%п; х0 < ^ < хр

Х1<^22. (РИС- 4-43)'

В каждой из этих точек вычислим значение функции—> /(%')? Составим сумму

Рис. 4.43

Эта сумма называется интегральной суммой для функции /(х) на отрезке [а, Ь.

Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, у которых шах Ах. —> 0 при п —> +<*>. При каждом разбиении выбираем

произвольно точки , получим последовательность интегральных сумм. Предположим, что эта последовательность интегральных

сумм S* стремится к некоторому пределу

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если при любых разбиениях отрезка [а, Ь] таких, что при п —» +оо шах Ах. —» 0, и при любом выборе точек § на

отрезках [х. р х.] интегральная сумма = J^/(?,)Ax, стремится к

/=| одному и тому же пределу S, то этот предел называется определенным интегралом от функции /(х) на отрезке а, Ь и обозначается

ь

При Дх) > 0 значение интеграла J /(x)dx равно площади заштрихованной фигуры (криволинейной трапеции, рис. 4.42). Таким образом, по определению

Число а называется нижним пределом интеграла, bверхним пределом. Отрезок [а, b] называется отрезком интегрирования, х — переменной интегрирования, /(х) — подынтегральной функцией, a/(x)dx — подынтегральным выражением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для функции /(х) предел (4.97) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке [а, Ь.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>