Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Некоторые свойства неопределенного интеграла

Основные правила вычисления неопределенного интеграла

? ТЕОРЕМА 4.36. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

? ТЕОРЕМА 4.36. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = const, то

Если | f(x)дх = F(x) + С, справедливы следующие правила:

? В качестве примера докажем правило 1.

Действительно, дифференцируя левую и правую части (4.90),

получим

>ПРИМЕР 4.34. Найти интеграл |(2д:3 -3sinx + 5л[х)йх Решение.

Интегрирование методом замены переменной

Пусть требуется найти интеграл J/(x)dx, причем непосредственно подобрать первообразную для f{x) мы не можем. Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

где (p{t) — непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx = (p'(t) dt. Докажем, что

Найдем производную от левой части равенства (4.94):

Правую часть (4.94) будем дифференцировать по л; как сложную функцию, где t — промежуточный аргумент. Зависимость

dx /

t от х выражается равенством (4.93), при этом — = (р (t) и по пра-

dt

d t 1

вилу дифференцирования обратной функции — = —;—. Итак,

dx (р

Значит производные по л; от правой и левой частей равенства (4.94) равны.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>