Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференцирование функций нескольких переменных. Производная по направлению градиента

Частные производные

Пусть в некоторой (открытой) области D е R3 имеем функцию и = /[х, у, z). Возьмем точку М0 = (х0, у0, z0) в этой области. Если зафиксируем у = у , z = z0 и будем изменять х, то и будет функцией от одной переменной х в окрестности х0.

Можно вычислить производную функции и = f{x, yQ, z0) в точке х0. Дадим этому значению х0 приращение Ах, тогда функция получит приращение А и = /(х0 + Ах, у0, z0) -/(х0, у0, z0), которое можно было бы назвать ее частным приращением (по х). По определению производной находим (если существует) предел:

Этот предел называется частной производной функции/^, у, z) по л: в точке (x0, у0, z0). Частную производную будем обозначать:

Если х hz — постоянны — переменная, тогда

Если х’и у — постоянны, z — переменная, тогда’

Полное приращение функции

Если исходя из значений х = х0, у = y0,z = z0 независимых переменных дать всем трем некоторые приращения Ах, Ау, Az, то функция и - f{x, у, z) получит приращение А и = АДх0, yQ, zQ) = =Дх0 + Ах, у0 + Ay, zQ + Az) -Дх0, yQ, zQ), которое называется полным приращением функции.

Для функции у = Дх) от одной переменной в предположении существования в точке х0 конечной производной /(х0) приращение функции

Для функции и = f{x, у, z) аналогично получается:

где а, р, у—> 0 при Ах, Ау, Az —> 0.

Если частные производные fx(x,y,z), fy{x,y,z), fz(x,y,z) существуют не только в точке (х0, yQ, zQ), но и в некоторой ее окрестности и, кроме того, непрерывны (как функции от х, у, z) в этой точке, то имеет место формула (4.84).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>