Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Математика

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Формула Тейлора для многочлена

Если р{х) есть целый многочлен степени п:

то, последовательно дифференцируя его п раз, получим:

Полагая во всех этих формулах л: = 0, найдем выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных при л: = 0:

Подставим эти значения коэффициентов в (4.74):

Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням х - х0, где х0 есть некоторое постоянное частное значение х:

Тогда:

Формула (4.76) так же, как и ее частный случай (4.75), называется формулой Тейлора.

Замечание. Если многочлен р(х) представлен в виде:

тор(0)=с0, р'(0)=сг р'(0)=с2, р'"|(0)=с„.

Разложение произвольной функции

Рассмотрим произвольную функцию Дх), не являющуюся целым многочленом, но определенную в некотором промежутке X. Предположим, что для нее в точке х0 существуют производные всех порядков до л-го включительно (точнее, до л-1-го:/(х), fix),..., /и~ °(х)) в некоторой окрестности точки х0, и есть производная л-го порядка/и)0) в самой точке х0. Тогда по формуле (4.76) для функции f{x) может быть составлен многочлен:

Этот многочлен и его производные в точке х0 имеют те же значения, что и функция J[x).

Но если сама функция /(х) не есть целый многочлен п-й степени, уже нельзя утверждать равенства/^) = рп(х). Многочлен рп{х) дает лишь некоторое приближение к функции /(х), с помощью которого она и может быть вычислена с некоторой степенью точности.

Если к многочлену (4.77) добавить очередной (п + 1)-й член формулы Тейлора, но в точке, средней между х0 и х — точке с, тогда выражение

формула Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа. Если перенести в ней /(х0) налево и положить х - х0 = Ах, то она перепишется так:

Формула (4.78) является прямым обобщением формулы конечных приращений: Д/(х0) = /(х0 + Дх0) -Дх0) = /(с)Ах, которая отвечает п = 0.

Проще всего выглядит формула Тейлора, если х0 = 0 (формула Т ейлора-Маклорена):

Например, разложим функцию/(х) = е* по формуле Тейлора- Маклорена. Получим:

Позже, когда мы будем говорить о рядах (§ 23 главы 4), мы рассмотрим этот пример (пример 4.61) более подробно.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>